Question triviale en analyse combinatoires

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dauphimout
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question triviale en analyse combinatoires

par dauphimout » 12 Fév 2010, 16:15

Bonjour

Je suis bloquer sur une question assez triviale , si quelqu'un pourrait me donner un conseil par ou commencer.

Je cherche tout simplement a prouver que la somme (de k=0 a n) de
(n k)^2 (combinaison sans repetition au carre de k parmi n ) = (2n n) (combinaison sans repetition de n parmi 2n.

Je ne sais pas si je dois m aider du theoreme du binome , ou alors le demontrer par induction , ou par une autre methode.


Merci de votre aide

ps: hors sujet : si on peut m'indiquer un moyen par le forum de pouvoir poster directement en notations mathematiques :)



Nightmare
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par Nightmare » 12 Fév 2010, 16:29

Salut !

Ecrit que

:happy3:

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mathelot
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Messages: 13515
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

par mathelot » 12 Fév 2010, 19:09

dauphimout a écrit: la somme (de k=0 a n) de
(n k)^2 (combinaison sans repetition au carre de k parmi n ) = (2n n) (combinaison sans repetition de n parmi 2n.



On peut considérer un quadrillage du plan orthonormé.

i) calculer le cardinal des chemins qui vont du point A(0,0) au point B(n,n)
en ne faisant que des pas vers le haut ou vers la droite.

donc un trajet de 2n pas.

ii) ce cardinal est obtenu aussi comme celui des chemins passant par les points de la 2ème diagonale (du carré) d'équation

y+x=n

Ces points, il y en a (n+1), ont pour coordonnées

Quand on dénombre les trajets passant par
est un point fixé de cette diagonale, on peut appliquer
un principe multiplicatif qui donne

girdav
Membre Complexe
Messages: 2425
Enregistré le: 21 Nov 2008, 23:22

par girdav » 12 Fév 2010, 20:13

Salut,
pas si triviale ton identité.
On peut s'en sortir en regardant la dérivée -ième de la fonction qui à associe . En la calculant de deux façon différentes on identifie le coefficient dominant pour trouver la formule.
La méthode ne vient bien sûr pas de moi, mais d'un livre d'analyse.

Doraki
Habitué(e)
Messages: 5011
Enregistré le: 20 Aoû 2008, 13:07

par Doraki » 12 Fév 2010, 21:54

Moi je trouve ça en comptant le nombre de moyen de prendre n boules parmi n boules rouges et n boules bleues.

 

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