Question triviale en analyse combinatoires

[dauphimout]

Bonjour

Je suis bloquer sur une question assez triviale , si quelqu'un pourrait me donner un conseil par ou commencer.

Je cherche tout simplement a prouver que la somme (de k=0 a n) de
(n k)^2 (combinaison sans repetition au carre de k parmi n ) = (2n n) (combinaison sans repetition de n parmi 2n.

Je ne sais pas si je dois m aider du theoreme du binome , ou alors le demontrer par induction , ou par une autre methode.


Merci de votre aide

ps: hors sujet : si on peut m'indiquer un moyen par le forum de pouvoir poster directement en notations mathematiques :)

[Nightmare]

Salut !

Ecrit que

:happy3:

[mathelot]

la somme (de k=0 a n) de
(n k)^2 (combinaison sans repetition au carre de k parmi n ) = (2n n) (combinaison sans repetition de n parmi 2n.

On peut considérer un quadrillage du plan orthonormé.

i) calculer le cardinal des chemins qui vont du point A(0,0) au point B(n,n)
en ne faisant que des pas vers le haut ou vers la droite.

donc un trajet de 2n pas.

ii) ce cardinal est obtenu aussi comme celui des chemins passant par les points de la 2ème diagonale (du carré) d'équation

y+x=n

Ces points, il y en a (n+1), ont pour coordonnées

Quand on dénombre les trajets passant par
où est un point fixé de cette diagonale, on peut appliquer
un principe multiplicatif qui donne

[girdav]

Salut,
pas si triviale ton identité.
On peut s'en sortir en regardant la dérivée -ième de la fonction qui à associe . En la calculant de deux façon différentes on identifie le coefficient dominant pour trouver la formule.
La méthode ne vient bien sûr pas de moi, mais d'un livre d'analyse.

[Doraki]

Moi je trouve ça en comptant le nombre de moyen de prendre n boules parmi n boules rouges et n boules bleues.