Action non triviale

[Nicolas59]

Bonjour

Je ne comprends pas pourquoi l'action par translation sur les classes à gauche n'est pas triviale pour un sous grous H de G d'ordre supérieur ou égal à 3 (ni même pourquoi elle est triviale pour n<2...)

p:G----->Per(G/H)
g |---> p(g)(xH) =gxH


On est d'accord qu'une action triviale est caractérisée par le fait que : p(g)(xH) =xH pour tout g dans G et pour tout xH dans G/H ?

Après je ne sais pas...

[Nightmare]

Salut,

Oui, tu l'as dit, l'action est triviale si elle est associée à l'identité (comme permutation). Autrement dit, toutes les classes à gauche sont invariantes sous l'action d'un élément de g.

Dans un groupe d'ordre 1, on a qu'une seule classe à gauche qui est le groupe lui même, donc nécessairement, cette classe est invariante sous l'action de n'importe quel élément du groupe. L'action est trivialement triviale ( :lol2: )

[Doraki]

je vois pas en quoi l'ordre de H ou de G a une quelconque importance.

L'action de G sur G/H n'est pas triviale <=> H est différent de G.

Si H=G alors G/H a 1 seul élément et donc toutes les actions dessus sont forcément triviales.
Sinon ben il existe une classe xH différente de H où x est dans G.
Alors p(x)(H) = xH<> H donc x n'agit pas trivialement sur G/H, donc l'action de G n'est pas triviale.

[Nicolas59]

Dans mon message, c'est G qui d'ordre => m!
si m=>3 , action pas triviale
m =1 ou 2 , l'action est triviale...