Question de topologie (connexe)

[Antho07]

Bonjour,
je n'ai jamais fait de topologie et je tente de comprendre quelque chose.

Il me semble avoir compris qu'un ensemble est connexe par arcs si on peut toujours relier deux elements de cet ensemble par un chemin continu restant dans cet ensemble.

Maintenant j'ai du mal à comprendre ce qu'est un ensemble connexe?
Serait t-il possible d'avoir une réponse imagée

et ce qu'est l adherence d'un ensemble?

LA derniere chose que je voudrais savoir est en faite une application de cela.

Pourquoi le graphe de la fonction sin(1/x) avec x>0 complété de son adherence(comment on la trouve) dont il me semble avoir lu que c'était le segment vertical [-1;1] est connexe mais pas connexe par arcs.

j avais déja fait un exercice avec la fonction f(x)=sin(1/x) si x>0 et 0 si x <=0ou on considerait une relation d'équivalence.

un point M(x,y) est en relation avec N(x,y) si il existe un chemin continue les reliant ne passant par aucun point de la forme (x,f(x)) en gros ne coupant pas la courbe.
On avait montré que avec cette fonction, il y avait deux classes d'équivalences (en dessus la courbe et en dessous de la courbe)
Je suppose que cela n'a aucun rapport.

Je vous remercie d'avance pour les réponses que vous pourriez m'apporter.

Cordialement.