SOn(R) connexe par arc

par **ludo56** » 27 Nov 2009, 19:08

Bonjour,

avez-vous une idée de comment déduire du th sur la réduction d'un endom orthogonal, que

est connexe par arc

par **legeniedesalpages** » 27 Nov 2009, 19:25

Re,

essaies de construire un chemin qui relie une de ces matrices à la matrice identité.

par **Ben314** » 27 Nov 2009, 19:28

Bonsoir,
Il faut (évidement ?) commencer par montrer que

est connexe par arc (ce que l'on montre trés facilement "à la main")
Puis, grâce à ça, partant d'une matrice de

que tu écrit P^{-1}BP où B est en bloc, tu peux étape par étape "tuer" les blocs de B (i.e. les remplacer par I_2) en restant dans la même composante connexe...
Pour conclure à la fin que B est dans la même composante connexe que I_n

P.S. En fait, on peut effectivement aussi tout faire d'un coup comme le sugére legéniedesalpages. mais on peut quand même commencer par SO_2 pour voir "comment ca marche" !!!

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 17:42

j'avoue que je ne saisis pas le principe du tout !!
j'ai un peu de lacune dans ce domaine...

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 17:51

Est ce que tu "visualise" SO_2(R) ?
Est ce que tu "visualise" ce que veut dire connexe par arc ?

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 17:54

sont les matrices orthogonales de déterminant = 1
et connexe par arc : on prend 2 éléments de

et on peut les relier par un chemin.

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 18:01

ludo56 a écrit: sont les matrices orthogonales de déterminant = 1
et connexe par arc : on prend 2 éléments de et on peut les relier par un chemin.

Parfait.... mais ce n'est pas trés "visuel"...
N'aurait tu pas une définition plus géométrique de SO_2(R) permettant d'un peut "voir" le problème ? Ce n'est pas obligatoire du tout mais ca aiderait quand même...
Si tu veut le voir calculatoirement, écrit deux matrices quelconques de SO_2(R) et regarde comment passer continuement de l'une à l'autre en restant dans SO_2(R)...
Indic : il n'y a pas super beaucoup de solutions vraiment différentes.....

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:07

un chemin dans SOn(R) ça va bien de [0,1] dans SOn(R)?

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:08

en fait tu veux que je trouve un chemin f tq f(0) = A et f(1) = B ,, avec A et B mes deux matrices?

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 18:15

ludo56 a écrit:en fait tu veux que je trouve un chemin f tq f(0) = A et f(1) = B ,, avec A et B mes deux matrices?

C'est tout à fait ca, sauf que le "tu" gagnerais à être remplacé par "l'exercice" !!! :zen:

P.S. : Faut pas tourner autour du pot : il faut que tu écrive "en vrai" i.e. avec des parenthéses et des trucs dedans qui sont les éléments de SO_2(R)

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:23

j'y arrive pas... par exemple les deux matrices :
A = (2,-1,1,2) et B = (1,3,-3,1)
je ne vois pas comment trouver un f tq f(0) = A et f(1) = B.................

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 18:26

Bon, déjà le hic, c'est que ces deux matrices, et ben elles sont pas trop dans SO_2(R)...
Tu as surement déja vu quelque part quelle tête ont les matrices de SO_2(R) ou MIEUX, essaye de le retrouver : pour t'aider un petit rappel :

Une matrice nxn est dans SO_n(R) ssi les n vecteurs colonnes de la matrices forment une ....

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:39

....ssi l'image d'une base orthonormale par l'endom. associé est une base orthonormale??

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 18:44

C'est O.K. (mais encore un peu théorique vu l'objectif)
Que ce passe t'il si on prend dans ton théorème la base cannonique comme base de départ ?

La réponse finale que qu j'attend permetrait de "fabriquer" des matrices de SO_n(R)...

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:49

pour SO_2(R) , elles sont sous cette forme non ? : (a,-b,b,a) (en ligne)

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 18:53

<(a,b)|(-b,a)>=0 donc les vecteurs de la matrice sont orthogonaux si on prend le produit scalaire canonique et la base canonique.. est-ce vrai

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 19:07

Oui, c'est vrai, mais tu n'as pas TOUT traduit :
Dans une base orthonormée, les vecteurs doivent être orthogonaux 2 à 2, mais ce n'est pas tout....

par **ludo56** » 29 Nov 2009, 19:09

....de norme 1 ie si on prend le produit scalaire canonique ca donne a²+b²=1 et donc det A =1

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 19:20

Tout à fait (on avance).
Le résultat que j'attendait est effectivement qu'une matrice est dans SO_n(R) ssi ces vecteurs colonnes forment une base orthonormée directe (si on oublie le "directe", on tombe sur O_n(R))

Pour finir, est-ce que "a^2+b^2=1" n'évoque rien géométriquement pour toi ?
Peut tu me paramétrer TOUT les couples (a,b) vérifiant cette équation....

SOn(R) connexe par arc

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