Question sur les fonctions continues

[Azuriel]

Voilà mon doute : j'ai f une fonction de R+ dans R et continue telle que lim(en + linfini) (f(x+1) - f(x)) =0

Est ce que Lim f existe bien ? et pour justifier est ce que je peux dire que grace à cette égalité on a une fonction constante au voisinage de + linfini donc forcement f converge ?

Cette limite serait donc forcement finie également, non ?

[bitonio]

Voilà mon doute : j'ai f une fonction de R+ dans R et continue telle que lim(en + linfini) (f(x+1) - f(x)) =0

Est ce que Lim f existe bien ? et pour justifier est ce que je peux dire que grace à cette égalité on a une fonction constante au voisinage de + linfini donc forcement f converge ?

Cette limite serait donc forcement finie également, non ?

ln(x+1)-ln(x) converge vers 0 mais ln ne converge pas. C'est le cas de toutes les fonctions qui ont une dérivé qui tend vers 0 en +oo mais qui diverge quand même.
Donc on peut rien dire sur la limite de ta fonction.

Bonne journée

[mathelot]

autre contre-exemple:
une fonction périodique de période 1 comme

[Azuriel]

Merci beaucoup. Donc meme si elle existe elle n'est pas forcement fini (le contre ex de Ln)

Mais pour le contre exemple de la fonction sinus pour dire qu'elle n'admet pas forcement de limite vous etes sur que ça marche car ici la fonction envoie dans R tout entier..et elle est continue alors ça mache quand meme ? Vous pensez que dans l'exemple on a le droit de se restreindre à cet ensemble d'arrivé [-1,1] pour montrer un contre exemple ?

[Azuriel]

J'ai continuez mon problème, et j'arrive à un moment où l'on me demande de démontrer que pour e>0, qu'il existe un entier N tq :

Vx € [N, N+1], Vn€N, |f(x+n)-f(x)|<= ne/2

Alors pour faire apparaitre mon hypothese de lim f(x+1) - f(x) =0 en + linfini

j'ai dit que cela revenant à montrer (en intercalant des terms) que sous les meme conditions on avait |Sum(de 0 à n-1) f(x+k+1)-f(x+k) | <= ne/2

Car je sais que en +linfini apres chaque terme de la somme tend vers 0 mais ce qui mpe derange c'est ce x € [N,N+1], je comprend pas pourquoi..car moi j'aurai dit pour x € [N, + linfini[...

D'où sa vient alors ? Est ce juste que vu que ça marche pour Vx>N alors on peut prendre cette intervalle qui est borné afin d'appliquer lhypothese de continuité dans les questions a suivre ?

[abcd22]

Bonjour,
Quand on dit qu'une fonction va de R dans R ca veut dire que son image est incluse dans R mais la fonction n'est pas forcement surjective pour autant !

Pour la question suivante, oui on pourrait prendre x dans [N,+inf[.

[Azuriel]

Vu que la fonction est continue, et que [N,N+1] est fermé, alors j'ai bien le droit de dire que sur [N, N+1] f admet un max M ? La continuité et l'intervalle (segment) suffit à justifier cela ? car ça m'arrangerait bien d'avoir mon max.

[Azuriel]

Bon je pense que M existe bien. Mais alors voila la question de l'exercice que j'arrive juste a moitié a cerner, si vous pourriez m'aider ça serait super

Il faut que je montre que Vz>N, z€R+, on a |f(z)|<=M + (z-N)epsilon/2

Sachant que M = max de f sur [N, N+1] et que je pense qu'il faut partir de la formule demontré : Vx€[N, N+1] (plus generalement ça marche Vx>N), Vn€N,
|f(x+n)-f(x)|<=n*epsilon/2

Bon au vu de la formule, j'aimerai me ramener sur [N, N+1] pour utiliser en fait M=f(z+KELKECHOSE) tel que Z+KELKECHOSE € [N, N+1], et en meme temps ce quelque chose devrait etre (z-N) en remplaçant d'apres laformule mais ce n'est pas necessairement un entier et ne permet pas a mon z+KELKECHOSE € [N, N+1]...une idée ??