Suite de fonctions continues sur un compact

[CC_]

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un exo, et je voudrais savoir si selon vous il n'y aurait pas une petite erreur d'énoncé dans la première question de l'exercice 3.



Ne faudrait-il pas lire : converge vers ?

Merci!

[alben]

Bonsoir,
Non c'est bien ça. D'ailleurs, ce que tu proposes n'est pas très clair : pourquoi mettre le même indice n à x et à f ?
Et sinon te fait manipuler une suite double.
D'ailleurs, l'exercice porte sur l'utilisation de la compacité, tu en auras besoin

[CC_]

Bonjour et merci pour ta réponse.

Donc, si c'est bien le bon énoncé, je pense que la difficulté du problème est ici de montrer que f est continue?
Car une fois qu'on l'a prouvé, converge vers de façon immédiate, juste parce que f est continue...
Donc il suffit de montrer ceci... Par exemple en disant que c'est la limite uniforme d'une suite de fonctions continues? X étant compact, il est fermé, et donc la limite de de la suite est dans , donc est continue?

Est-ce cela?.. Mais en ce cas, "X fermé" suffisait... On n'avait pa besoin de la compacité... Ou alors j'ai loupé un truc!

[alben]

Mais X c'est l'ensemble entier, il est donc forcément fermé (et ouvert).
D'ailleurs l'énoncé dit que "fn converge vers f dans C(X,X)". Donc f est continue par hypothèse.
Et d'accord, avec la contnuité de f, la convergence de f(xn) vers f(x) est claire.
Pour montrer que fn(xk) cvg, on a effectivement besoin de la continuité uniforme .

[CC_]

Bien, donc pour le 1), il suffit de dire que f est continue par hypothèse, d'où le résultat?..

Et pour la 2), je suis un peu bloqué pour montrer que S est un fermé. Je voulais raisonner par l'absurde. Je suppose que S non fermé. Alors il existe une suite d'éléments de S convergeant hors de S. Ie, il existe une suite de fonctions surjectives dont la limite n'est pas surjective.

s non surjective signifie qu'il existe tel que pour tout , .

Or, les sont des fonctions surjectives donc y a un antécédent dans X pour chaque . On définit alors la suite comme la suite des antécédents de y par : est tel que .

A partir de là, je comptais dire qu'on peut extraire qui converge vers x dans X, mais je n'arrive pas à conclure proprement... Suis-je sur une fausse piste?

Merci!

[alben]

Or, les sont des fonctions surjectives donc y a un antécédent dans X pour chaque . On définit alors la suite comme la suite des antécédents de y par : est tel que .

OK

A partir de là, je comptais dire qu'on peut extraire qui converge vers x dans X, mais je n'arrive pas à conclure proprement... Suis-je sur une fausse piste?

Pourquoi ne pas utiliser le résultat du 1) ?

[CC_]

Toujours fidèle au poste alben, impressionnant! :we:

Pour ré-appliquer le résultat du 1) j'ai un peu de mal... Car si converge vers x, tout ce que je peux dire c'est que converge vers , et je n'ai pas l'impression que ça aide beaucoup... Je ne vois pas comment conclure, même si je sens que je ne suis pas loin du but...

[alben]

Or, les sont des fonctions surjectives donc y a un antécédent dans X pour chaque . On définit alors la suite comme la suite des antécédents de y par : est tel que .

OK

A partir de là, je comptais dire qu'on peut extraire qui converge vers x dans X, mais je n'arrive pas à conclure proprement

Pourquoi ne pas utiliser le résultat du 1) ?
On veut montrer que S est fermé dans C(X,X) donc s et sn sont continues et puisque les sn forme une suite constante
PS j'ai oublié le phi dans l'indice de x

[CC_]

s et sn sont continues et puisque les sn forme une suite constante

Moui, j'avais pensé à faire ça, mais cette "double limite" (à la fois sur et ) me dérangeait un peu... Ca me paraissait presque illégal...
On a donc le doit de dire = ?

[alben]

On sait que par construction, pour tout n et que les Sn convergent vers s, les vers x. Donc l'application du 1) c'est que s(x)=y et donc y a bien un antécédant par s, et contradiction...

[CC_]

Pardon pour la "petite" absence sur ce topic...

Alben :

Donc l'application du 1) c'est que s(x)=y

C'est justement là que ça bloque... Pour moi, du 1) on peut seulement déduire que tend vers s(x), ce qui ne veut pas dire (de façon évidente en tout cas) que s(x) = y...

Il y a vraiment un truc qui m'échappe dans cette histoire...