Question stupide

[Azuriel]

Alors voila je commence a faire les premier exo sur les derivées partielles en classes et on a quelque exo dont celui là. On doit determiner l'ensemble des fonctions C1 solutions de certaines equations.

En gros par ex on demande df/dx(x,y)=0, est ce que c'est aussi simple, juste à dire que c'est l'ensemble des fonctions à une variable selon y, cad plutot des fonctions à deux variables mais x n'apparait pas dans l'expression, cad f(x,y) = g(y) C1 ??? Ca me parait bien simple mais si c'est la logique de ces exercices.

Merci de m'eclairer, mon resultat me semble juste mais j'aimerais etre sur d'avoir bien compris ce que l'on me demande.

[kazeriahm]

oui c'est ca

[Azuriel]

Merci, la suite me semble donc plus facile, mais là ça commence à se corser un peu.
Maintenant je dois resoudre df/dx-3df/dy=0 et l'on me suggere de faire un changement de variable linéaires u=ax+by, v=cx+dy, avec a b c d bien choisis)
C'est donc que f(u,v) devient f(ax+by,cx+dy) ?? ou le changement concerne un autre couple, ailleurs ?
Car je ne vois pas quel a b c d choisir.

[Rafar]

Maintenant je dois resoudre df/dx-3df/dy=0 et l'on me suggere de faire un changement de variable linéaires u=ax+by, v=cx+dy, avec a b c d bien choisis)
C'est donc que f(u,v) devient f(ax+by,cx+dy) ?? ou le changement concerne un autre couple, ailleurs ?
Car je ne vois pas quel a b c d choisir.

Salut.

Pose g(u,v) = f(x,y) = g(ax+by,cx+dy) de sorte que df/dx = a. dg/du + c. dg/dv
et df/dy = b. dg/du + d. dg/dv
Ensuite, il faut se débrouiller pour choisir a,b,c,d t.q df/dx-3df/dy=dg/du (ou bien dg/dv) : tu auras donc dg/du = 0 donc g est une fonction de la seule variable u donc g(u,v) = h(u) donc f(x,y) = h(ax+by)
(tu montreras quand même que le changement de variables u=ax+by, v=cx+dy est un C1 diffeo sur R^2)

[Azuriel]

Merci je m'en vais essayer cela.

[B_J]

Salut ;
t'as quelques exemples ici

[B_J]

...a partir de l'exo 32

[Blueberry]

Bonjour,

si tu veux vérifier ta solution : je trouve que les solutions de classe C^1 de ton problème sont les h(3x+y) où h est une fonction rélle d'une variable réelle et de classe C^1.

[Azuriel]

Moi je trouve h(4x+y)...

Car j'ai resolu le systeme df/dx - 3df/dy=dg/du
cequi equivault à :

adg/du + cdg/dv - 3bdg/du - 3d dg/dv = dg/du

donc j'ai ceci qui est equivalent à a -3b =1 et c-3d=0
donc a=3b+1. J'ai pris par exemple b=1 et donc a=4 (jai pris c=d=0)

Et donc j'ai que h(u)=h(4x+y). Ou est mon erreur ?

[Azuriel]

Oula autant pour moi ! C'est bon je peux trouver le meme resultat car jai dg/du=0 donc g =h(V) (pas de u lol).

Mais je me demandé, j'aurai tres bien pu prendre c=d=0 et donc je n'aurai pas eu cette relation h(3x+y)...

[Blueberry]

Non, car sinon ta transformation ne serait pas bijective. Si tu considères la fonction g(x , y) = f( ax + by, cx + dy) et que ta trsfrmation linéaire
(x,y)----> (ax +by,cx + dy) n'est pas bijective, tu ne vas ''récupérer'' f que sur une droite vectorielle (l'image de ta transformation) donc tu ne retrouveras pas f.

[Azuriel]

Ah oui d'accord donc je peux prendre n'importe quelle solutions autres que l'un des a b c d =0. Merci encore.

[Blueberry]

Il faut que tes a,b,c et d choisis judicieusement vérifient ad - bc différent de 0

[Azuriel]

Oui le determinant de (x,y) donne (ax+by....)

Mais là je regardais un peu le lien avec les exos données par B-J et par exemple pour l'exo 38 (le 1er des exo sur les derivées d'ordre 2), il nous donne les changements de variables, mais si on nous donne rien, comment les deviner ?

[Azuriel]

Personne ? On ne peut pas trouver nous meme les changements de variables ?

[Azuriel]

C'est bon j'ai trouver par moi meme pour l'exo 38, jai choisis une fonction g tel que dg/dudv=0 avec u = ax+by et v=cx+dy
J'ai tout calculer, et apres en identifiant j'ai retrouver le resultat.

Merci pour votre aide en tout cas.