Question Développement limité pour trouver une limite

[marine590]

Bonjour!
Je dois donner la limite de f'(x) qd x tend vers 0, où f(x) = x/ (exp(x) -1) et f(x) = 1 si x = 0

On me donne comme indication : exp (x) = 1 + x + x²/2 + o(x²) au voisinage de 0 (on n'a pour le moment pas manié les petits taux ds des exercices).
J'ai remplacé cette expression ds la dérivée que j'ai trouvée ( f'(x) = ( exp(x) - 1 - xexp(x)) / denominateur au carré), mais je n'arrive pas à conclure!

Merci d'avance de votre aide!

[Cryptocatron-11]

Salut

montre nous comment tu as remplacé dans ton expression de f ' car après c'est tout simple il reste plus qu'a simplifier

f'(x) = ( exp(x) - 1 - xexp(x)) / (exp(x) - 1)²

on va regarder ce qui se passe au numérateur et au dénominateur.

au dénominateur on a (exp(x) - 1)² = (exp(2x) - 2exp(x) + 1)
calcule le DL de exp(2x) et de exp(x) à l'ordre 2 en oubliant pas le o(x²) !

au niveau du numérateur c'est plus facile sauf au xexp(x) ou il faut pas prendre le vu qu'on indique o(x²) , autrement dit on veut des polynomes qui sont au maximum d'ordre 2

[marine590]

En fait, l'expression pour exp qui est donnée est un dvt limité d'ordre 2?
Ds le chap sur la dérivabilité, le prof nous a donné juste la déf sur le DL d'ordre 1.
-Pour exp (x) -1 = x + x²/2 + o(x²)
-exp (2x) : suffit il de remplace les x par (2x) dans l'expression ou bien on met l'expression donnée au carré et on développe? (dsl c'est tout nouveau pour moi! ...)
- pour xexp (x) = x + x² + x^3 /2 + xo(x²)
Mais il ne faut pas prendre le x^3?

[Cryptocatron-11]

En fait, l'expression pour exp qui est donnée est un dvt limité d'ordre 2?

Oui . Ca vient de la notation de landeau. L'exposant nous indique l'ordre. Je t'invite à consulter ce lien ce lien et celui ci
Tout découle des formules de Taylor. Pour un DL, ça marche qu'au voisinage d'un point (donc quand dx est très petit). En physique par exemple on confond la tangente avec un DL d'ordre 1 car on néglige le petit o. Les DL nous permettent de faire des approximations au voisinage d'un point.

-Pour exp (x) -1 = x + x²/2 + o(x²)

OK

-exp (2x) : suffit il de remplace les x par (2x) dans l'expression ou bien on met l'expression donnée au carré et on développe? (dsl c'est tout nouveau pour moi! ...)

Oui c'est ce qu'on appelle un changement de variable.
exp(2x)=1+2x+2x²+2o(x²)

- pour xexp (x) = x + x² + x^3 /2 + xo(x²) Mais il ne faut pas prendre le x^3?

non, on peut pas avoir du x^3 dans un DL à l'ordre 2. xexp (x) = x + x² + o(x²)

Ensuite il reste plus qu'à calculer

Pour la limite on doit trouver -1/2 sauf erreur

[marine590]

Je trouve bien 1/2. J'ai rgardé ds le programme du prof, on fait les DL à la rentrée après les matrices...
Merci!

[Cryptocatron-11]

Je trouve bien 1/2. J'ai rgardé ds le programme du prof, on fait les DL à la rentrée après les matrices...
Merci!

C'est - 1/2

Pense à bien vérifier avec le graphique de ta calculatrice pour voir si c'est cohérent. Tu verras qu'au voisinage de 0 ta courbe tend vers -1/2