Question sur développement limité - produit

[joq35]

Bonjour à tous,

Je suis en train de travailler sur les développements limités, et je crois ne pas avoir tout bien compris.
J'essaye de faire un développement à l'ordre 1 de l'expression suivante, pour n tendant vers l'infini :


Ordre 1 :



Ordre 1 :


Lorsque je fais le produit de ces 2 résultats, j'ai donc deux petits o de degré différent. Faire le produit a t-il un sens dans ce cas ? Si oui, pouvez-vous m'aider à faire ce produit ?

Merci à vous

[mathelot]

Bonjour,
un exemple:

d'après la définition du "petit o":
avec quand x tend vers zéro
est une fonction de limite nulle quand x tend vers zéro

Le développement se fait selon l'échelle

quand n tend vers l'infini

le développement se fait par rapport à l'échelle

quand q tend vers zéro:


d'où


en faisant le produit des deux DL:


DL se faisant selon l'échelle

ce qui donne à l'ordre 1:

[joq35]

Bonjour,

Merci pour votre réponse détaillée, c'est très gentil de votre part. Une chose m'interpelle : pourquoi êtes-vous allé jusqu'à l'ordre 4 pour la fonction sinus ? il n'était pas possible d'aller sur un ordre plus petit alors que l'on souhaite un ordre 1 en résultat ? Par exemple, on ne pouvait pas aller jusqu'au degré 3 ?

J'ai utilisé un ordre différent, et j'arrive comme vous au même résultat. Pouvez-vous me confirmer si la méthode est cohérente ou s'il y a des erreurs mathématiques ?

En 0, on a :


Pour n tendant vers l'infini, on a donc :



En effet :

Et E(x) tend vers 0

D'où le résultat, à l'ordre 1 :


Mon raisonnement est-il faux ?

Merci à vous

[mathelot]

Une chose m'interpelle : pourquoi êtes-vous allé jusqu'à l'ordre 4 pour la fonction sinus ? il n'était pas possible d'aller sur un ordre plus petit alors que l'on souhaite un ordre 1 en résultat ? Par exemple, on ne pouvait pas aller jusqu'au degré 3 ?

oui, tu as raison. ton calcul est exact.j'ai développé trop loin.
remarque: mieux vaut noter e(x) que E(x) qui est la partie entière de x. C'est facile à se rappeler "e minuscule" pour une fonction de limite nulle quand x tend vers zéro

[joq35]

Merci pour votre réponse. Habituellement, j'utilise plutôt Epsilon(x), c'est vrai que E(x) peut porter à confusion avec la fonction partie entière.
Super, merci bcp. Une dernière petite question : lorsque l'on fait le produit de 2 DL, les 2 DL doivent-ils être au même ordre ou il n'y a pas de règle spécifique par rapport cela ?

En supposant que j'ai les 2 DL suivants :



Si je fais f(x) * g(x), on a :




On peut écrire cela sans pb ?

Merci.

[mathelot]

oui, on peut.



où est une fonction de limite nulle

[Kolis]

Pour moi, si on veut un développement limité d'ordre 1 par rapport à la variable on doit donner un polynôme (de degré 1 au plus) en suivi de .
La présence de fait qu'on ne peut pas donner de développement limité ici.

Tout change si on prétend que la variable est !
Ou alors donner ce qu'on appelle un "développement asymptotique" d'ordre 1 pour la variable et c'est probablement ce qui est vraiment demandé.

[tournesol]

Bonsoir kolls
Des qu'on est plus dans le polynômial , on est dans l'asymptotique .
Je reviens vers jok35 vers 23 h .

[tournesol]

Or et sont des
Donc et donc
; donc

On multiplie ensuite les parties principales des DA en ne conservant que les termes en avec a inférieur ou égal à 1 .
On obtient

[Maxymyze]

Piège : à l'ordre 1 veut dire à la précision 1/n, non à la précision 1/(racine de n)

[joq35]

Ok merci à tous pour votre aide.

[mathelot]

On obtient

En es tu certain?

[tournesol]

Bonjour et Merci a toi . j'ai modifié le message .