Puissance de 2 irrationnels

par **aureusa** » 25 Avr 2009, 22:07

bonjour a tous,
je me pose une question:
soit p,q 2 irrationnel est-il possible que p^q soit rationel?si oui avez-vous un exemple.
merci

par **Matt_01** » 25 Avr 2009, 22:29

Oui c'est possible :

est irrationnel.
Après, il y a deux possibilités :
-Soit

est rationnel et alors cela répond à ta demande.
-Soit ce réel est irrationnel et alors

est rationnel et remplit la condition.

par **aureusa** » 25 Avr 2009, 22:35

je ne vois pas dans le segond cas p et q?
et tu as bien écrit sqrt(2)*(sqrt(2)^sqrt(2))=2? car je le tape a maple et il m'évalue 2.30
merci par avance de tes précisions
aurélien

par **aureusa** » 25 Avr 2009, 22:37

désolé ne prends pas en compte ma deuxieme remarque j'avais mal lu,désolé

par **Zweig** » 25 Avr 2009, 22:42

Salut,

EDIT : Devancé ...

par **leon1789** » 26 Avr 2009, 00:35

où e et

sont même transcendants sur Q !

par **Imod** » 26 Avr 2009, 00:46

En restant dans

:

.

Imod

par **Nightmare** » 26 Avr 2009, 02:27

leon1789 a écrit: où e et sont même transcendants sur Q !

Il ne me semble pas que

puisse être considéré comme un irrationnel !

par **leon1789** » 26 Avr 2009, 09:41

Nightmare a écrit:Il ne me semble pas que puisse être considéré comme un irrationnel !

oui, c'est vrai. Je pensais qu'un irrationnel était un "nombre" non rationnel (comme en français, si je peux dire), mais il faut que ce "nombre" soit réel. Encore un impact de l'histoire ?

Imod a écrit:En restant dans : .
Imod

exactement.

par **Doraki** » 26 Avr 2009, 10:36

Soit x rationnel > 0 et différent de 1.
Pour tout y > 0 et différent de 1 il existe un unique z tel que y^z = x (z = ln x / ln y).
L'application y -> ln x / ln y est injective.
Or il y a une infinité non dénombrable de y irrationnels et seulement une infinité dénombrable de z rationnels
Donc il existe une infinité non dénombrable de couples d'irrationnels (y,z) tels que y^z = x.

Puissance de 2 irrationnels

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