Propriété de la borne supérieure

[lapras]

Bonsoir,
j'ai la propriété suivante :
Toute partie non vide majorée de IR possède une borne supérieure.

Bon, bah le problème est que ca me semble évident car si il y a un majorant, alors il y a une borne sup. Mais pourquoi cette propriété est réputée comme "difficile" à démontrer ?
Je suis sûr de faire une erreur de raisonnement....
D'ailleurs quelle est pour vous la meilleur définition de IR ?

Merci d'avance

[Nightmare]

Bonsoir,

ce n'est pas que c'est difficile à démontrer, c'est que ça ne se démontre pas, c'est un axiome appelé axiome de la borne supérieure.

Une définition de R ? Justement, R est à un isomorphisme près l'unique corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure :lol3:

Edit : Il est d'ailleurs interressant, bien que difficile, de montrer qu'un corps totalement ordonné vérifiant l'ABS est isomorphe à R.

[busard_des_roseaux]

bjr,

peut être construit de manière que toute suite de Cauchy ait une limite.

Soit A une partie non vide majorée. l'ensemble B de ses majorants est une partie non vide minorée.

On choisit et . Ensuite on regarde si est élément de A ou de B. Par dichotomie (et récurrence) , on construit deux suites adjacentes et de Cauchy , telles que:





On obtient alors:




Les deux suites sont de Cauchy et convergent vers la même limite l.

On montre ensuite que

[lapras]

Merci de vos réponses
busard_des_roseaux >
tu as démontré qu'il existait toujours une suite de cauchy qui convergeait vers la borne sup de ton ensemble.
A est une partie de IR, non ?
Pourquoi avoir montré ca avec une suite necessaurement de cauchy ? on pourrait le démontrer plus simplement avec une suite quelconque, non ?
En fait ce que tu veux me montrer ca ne serait pas que justement quelquesoit l'ensemble qu'on prend puisque qu'il existe une suite de cauchy qui atteint sa borne sup, on peut construire chaque réel avec une limite de suite de cauchy ?
En tout cas je ne vois pas pourquoi on a besoin que la suite soit de cauchy ?
merci d'avance

[ffpower]

il a montré le principe de la borne sup sous l hypothese que toute suite de cauchy converge(faut de toute facon admettre quelque chose caracterisant R)

Nightmare:un corps fini muni de n importe quel ordre total verife ABS non?

[leon1789]

Nightmare:un corps fini muni de n importe quel ordre total verife ABS non?

L'ordre d'un corps totalement ordonné est compatible avec les lois internes.
Difficile pour un corps fini.

[lapras]

Mais toute suite de cauchy n'est pas necessairement convergente, non ?

[ffpower]

ah ok..c vrai qu on pourrait en fait faire un peu nimp sinon^^.mais le theoreme qu enonce nightmare me semble pas tres dur alors(a moins que j ai p-e passé outre certaines difficultés,ce qui est bien possible)

[legeniedesalpages]

Salut,

tout dépend de ta définition de IR, mais de toute façon il me semble qu'il y a équivalence entre IR est complet et IR possède la propriété de la borne supérieure.

Si par exemple, tu pars de la contruction de IR avec les suites de Cauchy,

alors tu montres d'abord le critère de Cauchy (ie IR est complet) et ensuite tu l'utilises pour montrer la propriété de la borne supérieure.

[lapras]

D'accord je comprend
En général c'est difficile de montrer qu'un espace est complet ?

[legeniedesalpages]

ah ok..c vrai qu on pourrait en fait faire un peu nimp sinon^^.mais le theoreme qu enonce nightmare me semble pas tres dur alors(a moins que j ai p-e passé outre certaines difficultés,ce qui est bien possible)

Jord avait déjà donné un lien sur cette question sur ce forum: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-171459.html , (qui ne marche plus apparemment), ça s'appelle le théorème d'Eudoxe.

[busard_des_roseaux]

En tout cas je ne vois pas pourquoi on a besoin que la suite soit de cauchy ?

juste pour être sûr que ces suites ont une limite (auquel cas cette limite
est la borne sup dont on souhaite démontrer l'existence). Au fait, on dit "supremum" et "infimum" maintenant au lieu de borne sup et borne inf ?

je vois les choses comme ça:
1) on peut construire par les suites de Cauchy de rationnels. on a tout de suite la complétion mais on doit montrer que l'ensemble quotient est un corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne sup.
2) on construit par les coupures de Dedekind. Un nombre réel est alors un couple (A,B) d'ensembles adjacents. On a tout de suite la propriété de la borne sup et il faut montrer alors que l est complet.
3) Tous les ensembles sont isomorphes à isomorphisme unique près. La nuance est de taille. Unique à isomorphisme près
ou à isomorphisme unique près, je crois que ça fait une grosse différence.

[abcd22]

Bonsoir,

si il y a un majorant, alors il y a une borne sup.

Justement c'est faux, si je prends par exemple comme ensemble l'ensemble des idéaux de Z ordonnés par l'inclusion (ou Z lui-même ordonné par la relation de divisibilité), toute partie est majorée mais il n'y a pas forcément de borne sup : par exemple la partie {6Z} est majorée par les idéaux 2Z, 3Z et Z, on ne peut pas choisir une borne sup entre 2Z et 3Z car ils ne sont pas comparables pour la relation d'ordre choisie.

[Dyo]

Bonjour,

j'ai une démonstration: A non vide majoré dans R => Sup(A) existe dans R, qui utilise la propriété des segments emboîtés de R.

Je me demandais si c'était équivalent à partir avec les suites de Cauchy comme l'a fait busard_des_roseaux.

Voici une esquisse de ma démo:

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On choisit qui majore et . On pose et . Comme est Archimédien, il existe tel que .

Une fois qu'on a ça, on pose majore qui est non vide et possède un plus petit élément (dans ) qu'on peut noter .

Ensuite on pose .
On montre que et s'interceptent, que est croissante au sens des ensembles et finalement sous l'hypothèse de que est réduit à un point .

Enfin on montre que est un majorant puis le plus petit des majorants de ce qui finit la démonstration (assez longue quand elle est détaillée).
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On utilise partout le fait que est Archimédien, je voulais savoir s'il y a une implication (sans doute) avec la complétude ou un équivalence. Quelles sont les propriétés les plus "historiques" ?

[ffpower]

ouais les segments emboités,c est aussi un axiome equivalant