[MP]A propos des normes

[euler21]

Bonsoir
On sait que dans un R ou C espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Je me demandais si la réciproque est vraie: ça veut dire si toutes les normes d'un K espace vectoriel (K=R ou C) sont toutes équivalentes, est ce qu'il est nécessairement de dimension fine.
Merci pour vos réponses.

[Nightmare]

=Salut,

bonne question. C'est vrai en admettant l'axiome du choix : Si est une base de notre evn, les normes et ne sont pas équivalentes.

Sans l'axiome du choix, aucune idée...

Edit : En fait, si toutes les normes sont équivalentes, il me semble bien que toutes les applications linéaires, ou au moins les formes linéaires, sont continues. Ce ne doit pas être bien compliquée de construire une forme linéaire non continue sur n'importe quel evn de dimension infinie!

[girdav]

Bonjour,
on peut démontrer que si est un espace normé pour lequel toutes les normes sont équivalentes alors pour toute forme linéaire et toute norme on a que est une norme. On voit comme l'a dit Nightmare que toute forme linéaire est continue.
Je crois que le fait qu'un espace de dimension infinie admette une forme linéaire discontinue est dû à l'existence de base de Hamel.

[Nightmare]

Il me semble qu'il faille juste l'existence d'une famille génératrice (ei) infinie et d'un supplémentaire du sev engendré par cette famille. On peut supposer les vecteurs (ei) unitaires.

La fonction qui envoie ei sur i et tout vecteur du complémentaire sur 0 est une forme linéaire discontinue (puisque non bornée sur la sphère unité qui est compact).

On a encore besoin de l'axiome du choix...

[girdav]

Oui, je crois que l'existence de bases de Hamel nécessité l'axiome du choix.
On prend une famille dénombrable de vecteurs unitaires et on pose pour chaque vecteur de cette famille.
Le fait que ne soit pas bornée sur la sphère unité suffit à conclure qu'elle n'est pas continue (car elle est linéaire). Mais cela ne découle pas du fait que la sphère unité est compacte (cela n'est pas vrai puisque l'on est en dimension infinie).

[Nightmare]

(cela n'est pas vrai puisque l'on est en dimension infinie).

Pas faux !

[Nightmare]

Effectivement, le fait qu'elle soit non bornée et linéaire suffit à conclure qu'elle ne peut être continue.

:happy3:

Edit : D'ailleurs, j'ai cherché en vain une preuve directe en montrant que la boule unité est compacte, donc l'espace de dimension fini, sans déboucher... as-tu une idée Girdav?

[euler21]

A propos, pourquoi cet axiome de choix pose problème ??
Pourtant il est intuitif -à ce que je sache-

[Arkhnor]

Bonjour.

Il y a un article sur la page de Wikipédia concernant l'existence de formes linéaires discontinues et l'axiome du choix, mais ce n'est pas très clair : Lien

Si l'axiome du choix pose problème, c'est surtout car il conduit à certains paradoxes, comme l'existence de parties non Lebesgue mesurables, ou encore le paradoxe de Banach-Tarski, et bien d'autres ...

[Ben314]

Salut,
Concernant l'axiome du choix, je rajouterais aussi que (un peu comme le postulat d'Euclide en géométrie) il n'est pas indispensable dés le début de la construction de l'édifice mathématique...