Isométries de R^n pour des normes exotiques

[ffpower]

On se fixe un p dans différent de 2, et on munit de la norme si , si ( les étant les coordonnées de ). Caractérisez les isométries linéaires de dans lui même.

Bonne chance..

[egan]

Il faut bien déterminer les automorphismes orthogonaux c'est ça ?

[Ben314]

Il faut bien déterminer les automorphismes orthogonaux c'est ça ?

Vu que, si p est différent de 2, la norme en question n'est pas issue d'un produit scalaire, je ne pense pas que le vocable "automorphismes orthogonaux" soit bien adapté...

Edit : La question est interessante est assez naturelle. Je conjecturerais bien que le groupe des isométries est trés petit, voir même réduit à {Id,-Id}...

[ffpower]

On ne parle pas d'orthogonalité ici puisque les normes p ne sont pas des normes euclidiennes. la question est : déterminer les endomorphismes u de tels que pour tout x,

[Ben314]

Le problème revient à chercher les applications linéaires bijectives qui stabilisent la boule unité (pour cette norme).
Vu la tronche peu symétrique des boules (principalement pour p=1 et p=+oo) je pense que le groupe des isométries est isomorphe à Snx(Z/2Z)^n (permutation des coordonnées et changement de signe de certaines coordonnées) (ce qui légèrement plus gros que ma première intuition)

[ffpower]

Je confirme l'exactitude de la conjecture :we:

[Ben314]

Sauf erreur, le broblème se ramène à montrer que si et sont tels que :

alors les et les sont tous nuls sauf un et un avec

[skilveg]

@Ben: je pense que le produit n'est pas direct, ie que c'est plutôt semi-direct (les matrices de permutation avec des signes), vu que les matrices diagonales à coefficients dans ne commutent pas aux matrices de permutation. Après, je peux me tromper...

[Argh, pourquoi \rtimes ne marche-t-il pas?]

[Ben314]

Effectivement, ç'est plutôt un produit semi direct (action de Sn sur (+-1)^n)...