Inegalié des normes dans les espaces lp
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alabamama
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par alabamama » 24 Fév 2014, 22:52
Bonsoir,
Soit lp lespace des suites (xn) telles que ;);) xn;)p est fini, muni de la norme Np définie par
X=(xn), Np(X)= (;);) xn;)p)1/p .
Montrer que si 1;) p ;) q , alors Nq(X) ;) Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).
Merci d'avance.
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DamX
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par DamX » 25 Fév 2014, 15:15
alabamama a écrit:Bonsoir,
Soit lp lespace des suites (xn) telles que
;) xn;)p est fini, muni de la norme Np définie par
X=(xn), Np(X)= (;);) xn;)p)1/p .
Montrer que si 1;) p
q , alors Nq(X)
Np(X).
(Dans l'expression de la série et de la norme, p et 1/p sont en exposant).
Merci d'avance.
Bonjour,
Qu'as-tu fait pour le moment ?
tu peux peut-être commencer par montrer que pour a et b réels positifs et 1;) p
q, tu as :
Damien
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Ben314
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par Ben314 » 25 Fév 2014, 15:22
Salut.
Ton énoncé n'est pas clair : pour quels X veut tu montrer que cette propriété est vraie ?
Si on part d'un X quelconque, ça veut dire que les normes peuvent éventuellement être égales à l'infin, mais ça continue à avoir "du sens" vu qu'on peut munir
d'une structure d'ordre en considérant (évidement...) que tout réel est <= +oo.
Dans ce cas, on peut commencer par dire que, si Np(X)=+oo, le résultat est évidement vrai.
On se place donc dans le cas où Np(X) est fini. Quite à diviser X par Np(X), on peut suposeer que Np(X)=1 (ça ne change rien à l'inégalité vu que les deux normes vérifient N(k.X)=|k|.N(X))
Cela signifie que
donc pour tout n on a
ce qui implique que
et donc que
. C.Q.F.D.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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DamX
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par DamX » 25 Fév 2014, 15:29
Ben314 a écrit:Quite à diviser X par Np(X), on peut suposeer que Np(X)=1 (ça ne change rien à l'inégalité vu que les deux normes vérifient N(k.X)=|k|.N(X))
Cela signifie que
donc pour tout n on a
ce qui implique que
et donc que
. C.Q.F.D.
Bien vu,
c'est encore plus radical que ce que vers quoi j'orientais.
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alabamama
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par alabamama » 25 Fév 2014, 20:17
Pour le moment j'avais essayé de me servir de la norme infini pour me ramener a des termes plus petit que 1 sous le signe somme.
Merci beaucoup pour vos réponses rapides.
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