Prolongement d'une fonction holomorphe

[AlexisD]

Bonjour,

On suppose qu'une fonction est holomorphe sur un domaine \ . Comment montrer (sous réserves) que cette fonction est prolongeable en une fonction holomorphe à tout entier, i.e holomorphe en ?

En théorie il faudrait établir le développement en série entière de dans un voisinage de et voir que ce développement coïncide avec lorsque mais y a-t-il une autre façon ?

[Arkhnor]

Bonjour.

Il faut et il suffit que soit bornée au voisinage de . C'est une conséquence du développement en série de Laurent, mais on peut aussi le montrer "à la main".

[AlexisD]

Merci pour cette réponse utile: j'avais une autre question.
On peut définir une fonction anti-holomorphe vérifiant la dérivée de f par rapport à z égale à 0 ce qui équivaut à dire que la dérivée de par rapport à égale à 0.

Peut-on de même définir une fonction anti-méromorphe ?

Je pose ceci car je résout un problème dont l'une des questions consiste à montrer que si une fonction est holomorphe, alors \{pôles de f} se prolonge méromorphiquement sur tout le domaine .

J'ai répondu à la question, en utilisant que .
Bien sûr, et désignent les projections stéréographiques de S² (privé respectivement de N et S) dans C.
Et j'obtiens que se développe sous la forme du conjugué d'une série de laurent, c'est-à-dire en fonction de mais pas de ...

[Doraki]

Pour moi, j'ai toujours choisi Ps et Pn telles que Ps(Pn-1(z)) fasse 1/z.

[AlexisD]

Dans mes calculs je trouve bien le conjugué. J'ai pris ce cas de figure:

Voici comment j'ai procédé: d'abord une fonction à valeurs dans S² est holomorphe en si:
-ou bien et est holomorphe en
-ou bien et est holomorphe en

Pour répondre à la question, (c'est donc là que ça doit coincer)
Je suppose que . L'application est alors holomorphe en , dans un disque centré en , on a:

Et dans ce voisinage épointé,

c'est-à-dire:


Mais comme
Il existe alors un entier non nul N tel que pour tout n<N, on a , et
Ainsi, je peux écrire:

Et comme la série
est inversible, ( non nul), on a:

Et ce n'est pas méromorphe en

[Doraki]

Voici comment j'ai procédé: d'abord une fonction à valeurs dans S² est holomorphe en si:
-ou bien et est holomorphe en
-ou bien et est holomorphe en

Tes fonctions, c'est Pn (x,y,z) = (x + iy)(1+z)/(1-z) et Ps (x,y,z) = (x + iy)(1-z)/(1+z) ?

On est pas censé avoir que si f(z0) est différent de N et de S, ces deux machins sont équivalents ?

[AlexisD]

Tes fonctions, c'est Pn (x,y,z) = (x + iy)(1+z)/(1-z) et Ps (x,y,z) = (x + iy)(1-z)/(1+z) ?

Non, dans mon cas de figure:
Pn (x,y,z) = (x + iy)1/(1-z)
Pn (x,y,z) = (x + iy)1/(1+z)

On est pas censé avoir que si f(z0) est différent de N et de S, ces deux machins sont équivalents ?

Ceci est une question auparavant posée, que j'ai traitée. Mais visiblement, non n'avons pas choisi le même plan pour la projection...

[Ben314]

Salut,
Perso, je trouve quand même ta définition :

une fonction à valeurs dans S² est holomorphe en si:
-ou bien et est holomorphe en
-ou bien et est holomorphe en

un peu bizaroïde du fait que, sauf erreur, si est holomorphe alors est "anti-holomorphe" donc, à mon sens, ça serait quand même nettement plus "logique" de dire qu'une telle fonction (de S2 dans C) est "une application conforme" plutôt que de dire qu'elle est "holomorphe"...

Si tu veut une autre façon de le dire, je trouve ça trés surprenant que ton changement de carte ne soit pas holomorphe...

[AlexisD]

En effet, étant donné qu'on doit avoir la composée égale à 1/ \bar{z}, ca ne peut pas être holomorphe et donc problème de changement de carte. Mais je ne faisais que recopier la définition qui m' a été donnée...

[Ben314]

En réfléchissant un peu plus, c'est quand même hyper louche comme définition :
On part de la fonction F : C\{1}->C ; z->1/(z-1) qui est holomorphe sur C\{1} et tend gentiment (en module) vers oo lorsque z->1.
Vu ta définition, f=PN^(-1)oF est "holomorphe" de C\{1}->S2\{N} et se prolonge super gentiment en z=1 en posant f(1)=N.
Sauf qu'avec ta définition, pour voir si la fonction prolongée est holomorphe en z=1, comme f(1)=N, on est forcé de considérer PSof au voisinage de 1 et cette fonction n'est pas holomorphe (elle est anti holomorphe).
Donc avec ta définition, la fonction prolongée n'est pas holomorphe de C->S2 et c'est super génant vu qu'on peut difficilement faire plus simple comme fonction de C->S2 (en fait c'est une "projection" par rapport à un point qui n'est ni pas un des deux pôles !!

[AlexisD]

OK j'ai compris le souci avec cet exemple. Je pense qu'il serait préférable pour moi de contacter l'enseignant qui m'a fourni ce problème.
Merci de l'avoir remarqué en tout cas.

[Ben314]

En fait, pour "remédier au problème", il suffirait (comme l'a suggéré Doraki) que tu change tes définitions de PN et de PS.
Est tu sûr de ton coup concernant ces définitions ?

En fait, géométriquement parlant, tes définitions sont parfaitement cohérentes comme allant de S2 dans le plan z=0. Le problème c'est que le plan z=0, lorsque tu l'identifie à C, il y a deux façons tout aussi naturelles l'une que l'autre de le faire : soit tu prend (x,y,0)->x+iy, soit tu prend (x,y,0)->y+ix [qui donne la même orientation que (x,y,0)->x-iy].
En fait, cela correspond à orienter le plan z=0 en le regarder "par au dessus" ou bien en le regarder "par en dessous".
Si tu dit que pour PN, on le regarde "par dessus" et que pour PS on le regarde "par dessous", tout rentre dans l'ordre : PNoPS^(-1) devient holomorphe.

[AlexisD]

La définition correcte est la suivante:
une fonction à valeurs dans S² est holomorphe en si:
-ou bien et est holomorphe en
-ou bien etest holomorphe en

Ainsi, il n'y a plus d'incohérance.