Prolongement

[Trident]

Bonjour à tous, j'ai une question à propos d'applications continues.

Soit C l'ensemble de Cantor. Il est dit dans un cours que si f : C -> R est continue, alors il existe une fonction continue \tilde f : [0,1] -> R qui soit continue, linéaire sur les intervalles de [0,1] \ C et qui prolonge f. Pourquoi ?
Quel théorème permet de dire ça et existe-il un résultat général dont ce cas n'est qu'un cas particulier ?

Merci.

[Ben314]

Salut,
L'ensemble de Cantor est un peu "bizarre", mais son complémentaire dans [0,1] est trés simple : c'est une réunion (dénombrable) d'intervalles ouverts ]ai,bi[ donc tu peut sans problème (et globalement) prolonger ta fonction f à une nouvelle fonction g définie sur [0,1] en considérant que tu prend des fonctions affines sur chaque ]ai,bi[ du complémentaire (évidement de façon à ce que au bord de l'intervalle, ça donne bien g(ai)=f(ai) et g(bi)=f(bi) qui sont bien définis vu que ai et bi sont dans le Cantor).

Ensuite, pour montrer que la nouvelle fonction f est continue, c'est bête comme choux :
Si on prend xo dans [0,1],
- Soit il n'est pas dans le Cantor et il existe un intervalle ouvert contenant xo sur lequel g est affine => g est continue en xo.
- Soit il est dans le Cantor donc, pour tout epsilon, il existe un intervalle ouvert I tel que, f(CnI) (C inter I) soit contenu dans ]xo-epsilon,xo+epsilon[. Quitte à légèrement diminuer I, on peut supposer que les extrémités de I ne sont pas dans des intervalles ]ai,bi[ et dans ce cas, par monotonie de g sur chacun des intervalles, on a g(I) contenu dans l'enveloppe convexe de f(CnI), donc contenu dans ]xo-epsilon,xo+epsilon[.

Vu la simplicité de la preuve, je sais pas bien s'il existe un "théorème" pour dire ça (peut-être que oui...)

EDIT : un cas particulier intéressant est celui où tu part de la fonction f:Cantor->[0,1] "presque" bijective donnée par "écriture en base 3"->"écriture en base 2" qui va se prolonger en une fonction g définie sur [0,1] qui sera constante sur chaque [ai,bi] et qui aura la propriété intéressante d'être dérivable partout sauf sur un ensemble de mesure nulle (le Cantor) avec une dérivée nulle partout où elle est calculable, et pourtant la fonction n'est pas globalement constante : Voir Escalier du diable.

EDIT2 : la preuve çi dessus déconne un peu dans le cas où xo et l'un des ai (ou des bi) et ou une extrémité de I est dans l'intervalle ]ai,bi[ : dans ce cas, on ne peut pas "diminuer" I. Mais d'un autre coté, vu que g est affine sur ]ai,bi[, on a trivialement la continuité à droite (ou à gauche) en xo donc ça ne pose pas de problème.

[Trident]

Merci ! Par contre, juste un truc, par ]x0-epsilon,x0+epsilon[, tun voulais dire ]f(x0)-epsilon,f(x0)+epsilon[ ?

[Ben314]

oui, effectivement, je me suis gourré...
Il manque aussi "... il existe un intervalle I contenant xo tel que ..."

et sans doute... d'autres choses

Donc on va dire que "c'est à peu prés ça" le principe...:marteau:

[Trident]

Du coup, le prolongement obtenue g : [0,1] -> R a t-il même norme (infinie) que la fonction initiale f : Cantor -> R ?
Le but initiale était de montrer que C(cantor),||.||_{infini} se plonge dans C([0,1],||.||_{infini}) isométriquement.

Par ailleurs, je ne suis pas sûr de comprendre la formulation "Quitte à légèrement diminuer I, on peut supposer que les extrémités de I ne sont pas dans des intervalles ]ai,bi[ ". Cela signifie-t-il qu'on suppose que les extrémités de I sont des éléments du Cantor ? Car "ne pas être dans des intervalles ]ai,bi[" signifierai "etre dans aucun intervalle ]ai,bi[" donc "ne pas etre dans l'union de ces intervalles" donc "ne pas etre dans le complémentaire de Cantor" donc "etre dans Cantor".

[Ben314]

Ben oui, il est complètement évident que ça ne change pas les bornes de la fonction vu que les éléments "ajoutés" pour passer de f([0,1]) à g([0,1]) sont contenus dans des intervalles dont les extrémités sont contenus dans f([0,1]).
Il est même évident que, si m=Inf(f) et M=Sup(f) alors g([0,1])=[m,M], quelque soit la nature de f([0,1]) (aussi pourrie soit elle).

Oui, effectivement, si ça te "parle plus", tu peut dire "...on peut supposer que les extrémités sont dans le Cantor" plutôt que "...on peut supposer que les extrémités de I ne sont pas dans des intervalles ]ai,bi[".
Mais avec la deuxième façon de formuler le truc, on voit immédiatement pourquoi ça marche : si I=]a,b[ et que a est dans un certain ]ai,bi[, ben je le remplace bêtement par bi, et, si b est dans un certain ]aj,bj[, je le remplace par aj.

Après, si on veut "tout bien rédiger", il faut tenir compte des cas particuliers où xo=bi ou bien xo=aj, mais c'est trivial (voir le EDIT2).

[Trident]

Ok merci.
Dernière chose, le " et ou" de l'EDIT 2 , c'est un vrai "et/ou" ou un "et où" ? (car du coup, ça change la compréhension).

J'ai du mal avec cet ensemble de Cantor pour tout bien rédiger...

[Ben314]

EDIT2 : la preuve çi dessus déconne un peu dans le cas où xo et l'un des ai (ou des bi) et ou une extrémité de I est dans l'intervalle ]ai,bi[ : dans ce cas, on ne peut pas "diminuer" I. Mais d'un autre coté, vu que g est affine sur ]ai,bi[, on a trivialement la continuité à droite (ou à gauche) en xo donc ça ne pose pas de problème.

Si c'est de ça dont tu parle, ça veut effectivement rien dire tel quel : il manque (au moins... :triste: ) un accent sur le "où".

Je te le refait... :zen:

La preuve çi dessus déconne un peu dans le cas où { xo et l'un des ai (ou des bi) } et { une extrémité de I est dans l'intervalle ]ai,bi[ }.
Dans ce cas, on ne peut pas "diminuer" l'intervalle I (en gardant xo dedans).
Mais d'un autre coté, vu que g est affine sur ]ai,bi[, on a trivialement la continuité à droite (ou à gauche) en xo donc ça ne pose pas de problème.

[Trident]

Ok merci mais dernière chose, pour être sûr ! :zen: Le "et" de { xo et l'un des ai (ou des bi) }, c'est bien un "est" ?
Merci beaucoup en tout cas pour ta patience.

[Ben314]

oui, c'est un "est"... :marteau: