Calcul de limite (prolongement par continuité)

[zelda007]

Bonjour,

On pose g(t) = [f(x+t) + f(x-t) -2*f(x)] / sin(t/2) en supposant que f est dérivable en x.

Montrer que g est prolongeable en 0 puis montrer qu'elle est continue par morceaux sur [0, Pi]

Donc il faut calculer la limite de g quand t tend vers 0 et si c'est fini alors c'est bon mais je n'arrive pas à lever l'indétermination pour la limite

Merci

[Monsieur23]

Bonjour.

En 0 : Sin(t/2) ~ t/2

Donc g(t) ~ 2 [f(x+t) + f(x-t) -2*f(x)] / t

Là, tu sépares en deux sommes.
N'oublie pas que tu as une hypothèse sur f !

[zelda007]

Je ne vois pas du tout :

g(x) ~ 2[f(x+t) + f(x-t)] / t - 4f(x) / t

On sait que f est dérivable en x donc :

lim quand t -> x de [f(t) - f(x)] / (t - x) existe et est finie.

Mais avec ca je ne vois pas comment conclure.

Merci

[Monsieur23]

Perdu, t'as pas pris les bonnes sommes.

2 [f(x+t) + f(x-t) -2*f(x)] / t = 2 [ f(x+t) - f(x) ]/t + 2[ f(x-t) - f(x) ]/t

Il faut que tu utilises l'autre définition du nombre dérivé. ;-)

[zelda007]

lol

L'autre définition c'est f(t) = f(x) + f'(x)(t-x) + o(t-x)http://www.zonegeeks.com/Documents/Cours/prepa/maths/chpt22-fonctions-derivabilite.pdf

On n'a pas vu d'autre définition donc j'espère que c'est la bonne, car je ne vois toujours pas le rapport avec notre limite

[Monsieur23]

T'as jamais vu ?

[zelda007]

Arf si :mur: mais en terminal :D

Donc en fait ca fait 2f'(x) - 2f'(x) = 0 avec un changement de variable pour le deuxième terme. C'est ca ?

[Monsieur23]

Attention, c'était une somme, pas une différence.

Je dirais donc plutôt 4f'(x)

[emdro]

Bonjour,

je pense que c'est bien 0, comme disait Zelda007...

[zelda007]

Attention, c'était une somme, pas une différence.

Je dirais donc plutôt 4f'(x)

Oui mais on avait : 2[ f(x-t) - f(x) ]/t

Donc il fallait faire un changement de variable en t->-t , non ?

[Monsieur23]

Ah oui, au temps pour moi.

C'est bien 0 alors !

[zelda007]

Ok merci :)

Sinon comment fait on pour montrer qu'elle est continue par morceaux ? même avec mon cours je n'y arrive pas ! Il faut dire qu'on a fait aucun exo dessus :(

[Monsieur23]

Ben si f est supposée continue par morceaux, c'est facile.

Le seul problème se trouvait en 0, et on vient de le résoudre !

[zelda007]

Certe mais on peut pas dire :
Comme f est continue par moreceaux sur [-Pi , Pi] et que sin(t/2) est continue par morceaux alors g est continue par morceaux sur [-Pi, Pi] donc sur [0, Pi] ?

Et pourquoi on me demande pas de le démontrer sur [-Pi, Pi] ?

[nonam]

Attention, 1/sin(t/2) n'est pas continue par morceaux sur [0, ], une fonction continue par morceaux admet une limite finie même en les points où elle n'est pas définie (1/sin(t/2) n'a pas de lim. finie en 0).
Cette méthode ne permet donc pas de conclure.
Et pourquoi seulement sur [0, ] ?
Parce que c'est suffisant, puisque l'imparité de g permet de conclure sur [ - ,].

[zelda007]

Donc on peut dire que 1/sin(t/2) est continue par morceaux sur [-Pi, 0[ union ]0, Pi] ?
Mais on a justement montré que g etait prolongeable par continuité et que la limite était finie. Donc il n'y a pas de soucis ? comment conclure ?

[nonam]

Oui, 1/sin(t/2) est continue par morceaux sur ]0, Pi]. Et le fait que g soit prolongeable par continuité en 0 permet bien de conclure : je n'ai jamais dit le contraire, je répondais juste à ta question :

Certe mais on peut pas dire :
Comme f est continue par moreceaux sur [-Pi , Pi] et que sin(t/2) est continue par morceaux alors g est continue par morceaux sur [-Pi, Pi] donc sur [0, Pi] ?

[zelda007]

Ok donc au final je peux dire :

On sait que f est continue par morceaux sur ]0, Pi] et que g est continue en 0 par prolongement. Donc g est continue par morceaux sur [0, Pi] ?