Prolongement par continuité

[FlorianH]

Bonjour,

Je m'adresse à vous pour un exercice sur la continuité de fonctions. En effet, bien qu'on aie vu ces notions en cours, les exercices proposés en TD n'ont pas été corrigés, le prof ayant jugé plus utile de consacrer une heure au théorème des valeurs intermédiaires :mur:

J'ai donc la fonction suivante :
f(x) = sin(x) * sin(1/x) définie pour tout x différent de 0 et je dois montrer que cette fonction est prolongeable par continuité.
J'ai sin(x)~x en 0, donc sin(x) * sin(1/x) ~ x * sin (1/x) en 0, mais est-ce correcte étant donné que sin(1/x) n'existe pas en 0 ?
A l'aide de cette équivalence, j'ai calculé la limite à droite et la limite à gauche de 0 et j'ai trouvé qu'elles étaient égales et que leur valeur était 0. Le prolongement recherché serait-il alors :
g(x) = f(x) pour tout x différent de 0 et 0 si x = 0 ?

J'ai une seconde fonction :
h(x) = sin(x+1) * ln|1+x| pour tout x>-1
La consigne est la même, montrer que cette fonction est prolongeable par continuité.
J'ai cherché un peu, et j'ai obtenu ce résultat :
sinX~X en 0, et lim(x+1) = 0 au voisinage de -1, donc en posant X = x+1,
sin(x+1)~(x+1) en 0.
Comme on a ln(1+x)~x en 0, on a ln|1+x|~|x| en 0.
Donc par produit, h(x) ~ (x+1) * |x|.
Et donc en calculant la limite à droite et la limite à gauche de -1, je trouve qu'elles sont égales et que leur valeur est 0. Le prolongement recherché serait donc :
u(x) = h(x) pour tout x>-1 et 0 si x = -1 ?

Je vous remercie d'avance du temps que vous consacrerez à me lire et à me répondre.

[el niala]

pour la première, ne t'embête pas à chercher un équivalent de sin(1/x), mais majore plutôt |sin(1/x)| et si la fonction était définie en zéro, ce ne serait pas la peine de la prolonger par continuité :zen:

pour la seconde, tu peux introduire astucieusement le rapport et utiliser les limites vues au lycée

[FlorianH]

Merci pour l'aide :lol3:

Pour la première, j'ai donc : sin(1/x) compris entre -1 et 1 et par produit avec sinus dont la limite est 0 pour x tendant vers 0, j'obtiens par encadrement que la limite est 0.

Par contre pour la seconde, j'obtiens :



Et donc :



Mais du coup j'arrive pas à une limite égale à 0 qui est pourtant le résultat recherché... J'ai un produit 1*1 qui me donne donc 1.

En tout cas merci pour l'aide :++:

[el niala]

OK pour la première même si c'est plus simple de majorer par la valeur absolue

bizarre à la fin pour la 2ème, tu as dû oublier

[FlorianH]

Arf bah oui, suis-je bête !

Merci beaucoup !