Prolongement par continuité

[jeje56]

Bonjour,

Soit f une fonction continue sur [a,b] strictement contenu dans [0,1] : MQ f est prolongeable en une fonction continue sur [0,1]

Je ne vois pas vers où partir...

Merci bcp !

[Nightmare]

Salut !

Moi je ne comprends pas vraiment l'énoncé puisque généralement, un prolongement se fait sur l'adhérence d'une partie ! A moins que a=0 et b=1 (ce qui est exclut), prolonger f définie sur [a,b] à [0,1] n'a pas de sens !

[jeje56]

D'accord... L'énoncé est pourtant bien posé comme ça...

[wserdx]

Peut-être ne faut-il pas chercher midi à 14 heures?
On demande peut-être juste quelque chose du style
pour
pour
pour

[Nightmare]

Oui je pensais à ça aussi, c'est un prolongement au sens usuel du terme mais pas vraiment au sens mathématique.

[alavacommejetepousse]

Oui je pensais à ça aussi, c'est un prolongement au sens usuel du terme mais pas vraiment au sens mathématique.

bonjour qu'est ce le sens usuel non mathématique pour une notion clairement purement mathématique ?

[jeje56]

Peut-être ne faut-il pas chercher midi à 14 heures?
On demande peut-être juste quelque chose du style
pour
pour
pour

Oui je suis d'accord... Merci à toi !

[Nightmare]

bonjour qu'est ce le sens usuel non mathématique pour une notion clairement purement mathématique ?

Au sens où on pourrait définir le prolongement sur Y d'une fonction continue f définie sur comme une fonction g continue sur Y et coïncidant avec f sur X mais ça n'a pas grand intérêt.

[kazeriahm]

Si si, on dit bien qu'une telle fonction g prolonge f. On fait generalement ce truc sur les applications lineaires :

etant donne E un evn et F un sev de E, si f est lineaire continue sur F, il est frequent d'etudier la possibilite ou non de "prolonger" f sur E, c'est a dire trouver une application lineaire continue g sur E, qui coincide avec F sur E et telle que ||g||=||f||. Il y a par exemple le theoreme de Hahn Banach qui repond affirmativement dans le cas ou f est une forme lineaire.

Enfin effectivement dans cet exemple, on ne parle pas de linearite et c'est beaucoup plus simple

[Nightmare]

Salut kazeriahm ! :happy3:

On est d'accord, j'entends bien qu'il peut être utile de parler de ce genre de prolongement dans des cas où il est particulier (comme dans Hahn Banach, où c'est un prolongement qui conserve la norme). Ce que je voulais dire, c'est que parler d'un prolongement continu sans autre restriction n'a pas d'intérêt puisqu'on peut en construire toujours très facilement comme en témoigne le post de alava... .

:happy3: