Prolongement par continuité

[Killah]

Bonjour matheux du dimanche =)

Donc voilà je me permets de poster un message pour deux problèmes sur lesquels je bute...

1) Tout d'abord j'ai une intégrale à trouver ! L'intégrale de x² à x de dt/ln(t)... Mais en fait je vois pas bien si t et x sont la même variable et ça me perturbe complètement... Je dois étudier les variations de cette intégrale sur les deux intervalles ]0;1[ et ]1, + infini [... Donc je ne vois pas du tout comment m'y prendre et sur ]0;1[, il faut bien dire que les bornes sont inversées ?


2) Ensuite, je dois montrer que la fonction g(x)= 1/ln(t) - 1/(t-1) est prolongeable en une fonction continue sur R+*... Mais je croyais que pour faire un prolongement, il fallait que la fonction ait une limite finie au point qui "pose problème", à savoir ici 1... Et ce n'est pas le cas.. Comment faire alors ?!


Merci :hein:

[busard_des_roseaux]

L'intégrale de x² à x de dt/ln(t)... Mais en fait je vois pas bien si t et x sont la même variable

Les variables x et t sont indépendantes. t est muette, x ne l'est pas .

L'intégrande
est continue sur les deux intervalles ouverts et et y admet des primitives.

On fait une étude séparée pour et .
On peut poser alors où F est une primitive quelconque de l'intégrande sur (resp.
ie,


L'intégrande
n'est pas intégrable au voisinage de 1. Les primitives de
ont une limite infinie
en t=1. Par contre, pour l'intégrale de à ,
il faut regarder car la limite est une forme indéterminée

2) Ensuite, je dois montrer que la fonction g(x)= 1/ln(t) - 1/(t-1) est prolongeable en une fonction continue sur R+*...

faire un DL de ln(t) au voisinage de 1.

[Killah]

J'ai fait des DL en 0 en posant x=1+h avec h qui tend vers 0, à des ordres différents, mais ça n'aboutit pas :(

[nuage]

Salut,
en posant t=1+h on a

d'où


On a alors facilement un DL à l'ordre 0 de g(t)= 1/ln(t) - 1/(t-1).
Si c'est bien ce que tu veux, et sauf erreur(s) de calcul de ma part.

[Killah]

T'aurais pas oublié un h^3/3 ?!

[nuage]

Salut,

T'aurais pas oublié un h^3/3 ?!

je ne crois pas : il est dans le O(h²), sauf erreur de ma part.
Il est vrai qu'en ce moment j'en fait beaucoup. :briques: