Prolongement par continuité

[georgess]

Bonjour , j'ai l'exercice suivant :

Pour tout réel a > 0 , on définit la fonction f(a) : ] - pi/2a , + inf [ -> R par :

fa(x) = (1+sin(ax))^x - 1) / x , si x appartient ]-pi/2a , 0[
fa(x) = V(V(1+ax^2) - 1) , si x appartient [0, + inf[

a est en indice je précise pour l'écriture et V = racine carrée , le 1+ax^2 est contenu dans la 1ere racine et dans la 2eme racine , le -1 n'est contenu quand dans la seconde racine .

La fonction est elle prolongeable par contuinité en -pi/2a ?

Voici les 2 développements limités en 0 à l'ordre 3 des 2 expressions :

fa(x) = ax - a²x²/2 + o(x³)
fa(x) = (V2a/2)*x - (V2a³/16)x³ + o(x³)

Mais ça ne m'aide pas pour répondre à la question , quelqu'un a t'il une idée ?
merci

[georgess]

ça ira j'ai trouvé , merci :)

[georgess]

par contre j'ai une petite question : comment je peux faire pour montrer que fa(x) admet une tangente si et seulement si a = 1/2 ?

merci

[georgess]

personne n'a une petite idée pour la tangente ?

merci

[klevia]

Salut,
il suffit de montrer que f est dérivable en tout point de son espace de définition.
Le seul problème est en 0 me semble-t-il...

[georgess]

ben f est évidemment dérivable étant donné qu'on a calculé les développements limités et que de toute manière la fonction est composée de fonctions usuelles dérivables .

mais je ne vois pas trop le rapport entre la dérivabilité et le fait de chercher une tangente...

La question c'est montrer que fa(x) admet une tangente si et seulement si a = 1/2 .

Si je remplace ça me fait :

fa(x) = (1/2)x + (1/8)x²
fa(x) = (V(1/2))x + (V(1/64))x³

Je ne vois pas comment à partir de ça trouver une tangente :)

[klevia]

C'est pas aussi simple que ça:
il faut montrer que la limite du taux d'accroissement à droite et égale à la limite du taux d'accroissement à gauche.
Maintenant le rapport entre dérivé et tangente , c'est que le nombre dérivé en a d'une fonction est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe en (a,f(a)).

[georgess]

oh la je ne sais pas faire ça , c'est meme la 1ere fois que j'entends parler du taux d'accroissement...

[klevia]

Mais si tu sais faire:
Le taux d'accroissement est :
ici a=0 et il faut montrer que la limite à gauche est égale à la limite à droite

[georgess]

et bien c'est un jeu d'enfant :) , à droite le taux d'accroissement vaut :

(1/2) + (1/8)x

à gauche :

(V(1/2)) + (V(1/64))x²

vu que ej divise f(x)/x ...

ce n'est pas égal à droit ou à gauche :p

[klevia]

ça parait bizarre de ne pas trouver pareil puisqu'on te dit que si a=1/2 alors f admet une tangente en tout point ...

Je couche mon fils et je regarde cela de plus près .

[klevia]

Attention, c'est peut-être faux mais je dirais ceci:

pour la limite à gauche, je travaille par équivalent:


maintenant à gauche:

d'où lim a droite égale limite à gauche et f admet une tangente aussi en 0.

PS ton DL doit être faux

[georgess]

je laisse tomber je suis largué , merci de ton aide .

[georgess]

une petite question : pourquoi quand la limite est la meme à droite ou à gauche ya forcément une tangente ?

PS : non non mes DL sont très justes :)

[klevia]

C'est la définition du nombre dérivé ...
Si la dérivé à droite existe mais qu'elle est différente de la dérivé à gauche qui existe aussi, on dit que la courbe admet 2 demi-tangente.

PS: pour tes DL, je comprends pas ce qui est sous la racine pour le DL à gauche !!

[georgess]

jte remercie pour tout .

[georgess]

mais tu introduis un x² au dénominateur de la 1ere expression , étrange...

[klevia]

c'est parce que le taux d'accroissement est

[georgess]

je vois pas le rapport , le dénominateur c'est x , quel rapport avec x² et le taux d'accroissement ?

[klevia]

Je prends a=0 et il y a deja x au dénominateur de ta fonction et je redivise par x !!