Prolongement par continuité

[aviateur]

Ta réponse est fausse. Il faut mettre tes calculs sinon on pourra pas te dire où c'est faux

[Anaisdeistres]

Ah mais oui mais on est stupide @aviateur il suffit de dérivée f~ il faut pas dérivée la fonction

[aviateur]

Ah mais oui mais on est stupide @aviateur il suffit de dérivée f~ il faut pas dérivée la fonction

Merci de ne pas dire que je suis stupide. Pour l'instant je sais ce que je fais, je sais que je dis. Ce qui est stupide c'est de m'associer à ton incompréhension.

Et puis il va falloir finir par être clair:
il suffit de dérivée f~ il faut pas dérivée la fonction

Mais ça qu'est ce que ça veut dire? D'abord f~ c'est le prolongement par continuité de f. Autrement dit c'est f qu'on a rendu par continue en x=0.

[tournesol]

Je ne rédigerais pas les détails des calculs car je n'ai pas encore compris comment inserer du Latex .
Un première vérité pour infirmer ta valeur 0 pour f"(0) .
Si f est n fois dérivable en a , alors f admet un Dln en a , f' admet un Dl n-1 en a , ... , f niéme admet un DL0 en a et on obtient ces DL en dérivant successivement celui de f . Cela resulte de l'aplication de la formule de Taylor young .
Donc , dans notre cas , si f"est dérivable en 0 , alors elle admet un DL0 en 0 et on l'obtient en dérivant 2 fois celui de f qui est 1/2 + x^2/8 . Donc f"(x)=1/4 + o(1) .Donc f"(0)=0 .
Deuxième vérité (la seule qui vas te servir pour resoudre la question 3 .
f est dérivable en a ssi f admet un DL1 en a.
Tu dois montrer que f' est dérivable en 0.
Pour cela il suffit de montrer que f' admet un DL1 en 0 .
f'(x)=((1+(tan x)^2-cosx)x^3-(tan x - sin x)3x^2)x^6
Il te faut donc un DL7 du numérateur pour avoir un DL1 de f' .
A cause de x^3 , il te faut un Dl4 de 1+(tan x)^2 - cos x , et a cause de x^2 , il te faut un DL5 de tan x - sin x.
le DL4 de( tan x)^2 s'obtient par troncature de (x + x^3/3 + o(x^4))^2 qui donne facilement x^2+2/3x^4+o(x^4) .
Le DL5 de tan x - sin x est x^3/2+1/8x^5 + o(x^5)
Le DL1 de f' est alors après calculs + x/4 + o(x)
Donc , f' est dérivable en 0 et f"(x)=1/4 + o(1)

[LB2]

Bonjour à tous,

un petit message pour faire le point parmi pas mal de confusion...

aviateur et tournesol apportent les bons arguments

- on a la CNS f dérivable en 0 ssi f admet un DL à l'ordre 1 en 0, noté dans la suite DL1(0) (c'est à dire à la précision o(x))
- cette condition n'est plus vraie pour les dérivées d'ordre supérieur.

1 - pour l'existence et le calcul de la limite de f en 0, on utilise un DL0(0) de f , donc un DL3(0) de tan(x)-sin(x)
2 - pour l'existence et le calcul du nombre dérivé de f en 0, deux méthodes : a) on utilise un DL1(0) de f, donc un DL4(0) de tan(x)-sin(x) ou b) on utilise un DL0(0) du taux de variation de f en 0, c'est à dire de la quantité .
La méthode a) est en général un poil plus simple, et de plus ici c'est directement apporté par ce qui précède, car tan et sin n'ont que des termes impairs dans leur DL(0).

3 - pour l'existence et le calcul de f''(0), ça se complique : on ne peut pas invoquer l'existence d'un DL de f à l'ordre 2 pour justifier le caractère deux fois dérivable de f en 0 (cf contre exemple d'aviateur)
Deux possibilités ici : a) si l'on connait la théorie des fonctions développables en série entière, il est facile de voir que f est développable en série entière autour de 0, donc admet un DL(0) à tout ordre. On peut alors calculer ce DL(0) et identifier le coefficient devant x^2 de ce DL(0) au nombre f''(0)/2, d'après la formule de Taylor-Young.
b) si l'on ne connait pas cette théorie ou qu'on ne souhaite pas l'utiliser ici, je propose encore deux méthodes :
- on calcule f'(x) pour x non nul, et on réalise un DL1(0) de f'(x) pour justifier que f' est dérivable en 0.
- on calcule f'(x) pour x non nul, et on réalise un DL0(0) du taux de variation de f' en 0, c'est à dire de la quantité

La bonne question à se poser, une fois calculée sans erreurs l'expression de f'(x) pour x non nul, c'est de savoir à l'avance à quel ordre on souhaite le DL des numérateurs pour obtenir l'ordre recherché sur le résultat final. Un DL à l'aveugle, que ce soit lors de produits, quotients ou composition de DL, fait toujours courir des risques d'erreur, d'oubli de termes ou au contraire de surplus inutile.

[aviateur]

Bonjour
Alors, pour espérer en finir, faisons la synthèse de toutes les synthèses en donnant la solution détaillée:
(on n'utilise pas les séries entières)

Intro -0-
Posons alors pour

Intro- 1- (Calculs) Evidemment u est de classe sur on en déduit en particulier qu'elle possède en un DL à tous les ordres. Et on a vu que le DL à l'ordre 5 de u(x)
suffira pour faire toutes les questions.
On ne revient pas sur les calculs on a: . (1)

Question 1. D'après (1) au voisinage de 0 on a f(x)=1/2+o(x) (2).
Alors en posant f(0)=1/2, la fonction f est ainsi prolongée par continuité en x=0.

Question 2. De plus, d'après (2) f est dérivable en x=0 et f'(0)=0.
(Pour s'en convaincre )

Question 3. Pour ,
La régularité de u et (1) implique
En réinjectant ce DL et (2) dans f'(x), on obtient

On en déduit que f' est dérivable en x=0 (i.e f est 2 fois dérivable en x=0) et que
(Pour s'en convaincre c'est comme dans la question 2, propriété évoquée plusieurs fois ds les messages précédents).