Prolongement par continuité

[Anaisdeistres]

Bonsoir,

Soit f la fonction définie sur R∗ par :
∀x ∈ R∗



1. Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. On notera ˜f son
prolongement.
2. Montrer que ˜f est dérivable en 0.
3. La fonction ˜f est-elle deux fois dérivable en 0 ?

J'ai trouvé que son prolongement en 0 est ˜ que sa dérivée est 0 et qu'elle n'est pas deux fois dérivable c'est correct ?

Merci

[pascal16]

avec le DL à l'ordre 5 du numérateur, tu as la 1., c'est bien 1/2.

c'est sin(x) ou sin (1/x) ?

[Anaisdeistres]

C'est bien sin(x) donc c'est juste merci beaucoup

[aviateur]

avec le DL à l'ordre 5 du numérateur, tu dois avoir toutes les réponses

Je ne suis pas très d'accord

mais ne permet pas de dire si f''(0) existe.

Par exemple la fonction avec g(0)=1/2, admet le même DL mais elle n'a pas de dérivée seconde en 0.

[pascal16]

j'ai corrigé entre temps.
SI la fonction est dérivable on peut utiliser la "dérivée" du DL qui perd un ordre

J'ai pas été plus loin dans l'étude (mélange polynôme et fonction circulaire berk), le tracé de la dérivée donne des variations assez douces, j'aurais opté graphiquement pour une fonction dérivable 2 fois, sans preuve.

Il faut utiliser le DL de tan² demandé

[LB2]

La CNS existence DL ordre n au point x0 <=> dérivable n fois au point x0 n'est valable que pour n=1... le contre exemple d'aviateur l'illustre. En revanche, SI f admet une dérivée n-ième au point x0, alors par unicité du DL et formule de Taylor Young, on peut identifier les DL et obtenir cette valeur.

[tournesol]

Avec ce DL on obtient( ftilde)'=x/4+o(x^2)
Donc ftilde est deux fois dérivable en 0 et (ftilde)"(0)=1/4

[aviateur]

Merci @LB2 d'avoir compléter. En effet il semble que le sujet pose problème.

Avec ce DL on obtient( ftilde)'=x/4+o(x^2)
Donc ftilde est deux fois dérivable en 0 et (ftilde)"(0)=1/4

Alors là non plus le raisonnement n'est pas valable. D'ailleurs mon exemple précédent reste valable.
Soyons clair: on part de l'existence du DL à l'ordre 2 de la fonction f(x)= 1/2+x^2/8+ o(x^2). Alors rien ne dit que f'(x)=x/4 +o(x). Cela ne veut pas dire que c'est faux mais ce n'est pas justifié par le DL de f(x) à l'ordre 2, il faut un raisonnement.

[tournesol]

Aviateur , mon message s'adressait à pascal16 message 5592.
"Ce DL" était celui de (tan x)^2 dont il préconisait l'utilisation .
en fait , j'ai calculé la dérivée de ftilde , dans laquelle apparait (tan x)^2 , puis j'ai fait un DL à l'ordre 6 de cette dérivée . D'où mon affirmation .

[aviateur]

Bjr
Bon avec les messages qui se croisent il y a des malentendus peut-être.

[tournesol]

Pour info , la fonction ftilde est développable en série entière sur D(0;pi/2) , donc elle est Cinfinie sur ]-pi/2;pi/2[ .

[aymanemaysae]

Bonjour;

On sait que :

;

car et .

[aviateur]

Bonjour
Je voudrais mettre les points sur les i. concernant cette question.
@aymanemase, dans un autre message @Anaisdeistres demandait le DL de tan(x) et de tan(x) ^2.
Alors pour répondre aux deux questions premières questions c'est un peu long de faire comme tu fais.
C'est clair qu'il faut utiliser le DL et on trouve f(x)=1/2+x^2/8 +o(x^2)
Cela donne que la limite en x=0, vaut 1/2.
Et que la fonction ainsi prolongée est dérivable en x=0 et f'(0)=0. (voir message de @LB2)

D'autre part ce DL ne permet pas de dire que f''(0) existe. Bien entendu (voir les messages de @tournesol et de @LB2) f''(0) existe et on devine sa valeur. Mais il reste à faire cette question "à faire à la main," car je ne pense pas que le posteur de la question puisse utiliser la théorie des séries entières.

[Anaisdeistres]

Bonjour,

J'ai étudié les série entière mais à quel théorie pense-tu pour utiliser pour f"(0) ?

[tournesol]

@aviateur
Je suis entièrement d'accord avec toi .
@ anaisdeistres
Si f est developpable en série entière au voisinage de a , alors f admet un Dl à tout ordre au voisinage de a et ce Dl s'obtient par troncature du développement en série .
Si f est developpable en série entière au voisinage de a , alors f est indefiniment dérivable au voisinage de a , pour tout n sa dérivée n-ième est développable en série entière au voisinage de a et son développement s'obtient en dérivant n fois terme à terme celui de f.
Tous ces développements ont le même rayon de convergence .

[pascal16]

je savais que la "régularité" des DL (contrairement à du x.sin(1/x)) menait vers une solution simple, mais je n'avais pas le point théorique qui permettait de le faire (soi je n'ai jamais fait les séries entières, soi j'ai oublié).

[Anaisdeistres]

LATTENTION ! Mˆeme si f admet un d´eveloppement
limit´e d’ordre sup´erieur `a 2 en a, elle n’est pas n´ecessairement
deux fois d´erivable en a.

Voilà donc on ne peut pas utiliser le dl. Pb comment faire avec tan^2(x) je vois pas quel lien avec la fonction. Je vais me renseigner pour le théorème des série entière merci beaucoup

[aviateur]

Rebonjour.
Qui a dit qu'il faut utiliser tan(x)^2?

Bien sûr on peut passer par les séries entières et la remarque est intéressante. Mais je pense que ce n'est pas l'esprit de l'exercice ici.
Quand je dis qu'il faut montrer que f''(0) existe "en le faisant à la main", ça veut tout simplement dire qu'il faut le démontrer sans théorie mais simplement en revenant à la définition. D'ailleurs je suis presque sûr que c'est que qui est attendu par l'auteur de l'exo.

Donc pour finir la question 3.

On sait que f(0)=1/2, f'(0)=0.
Par définition f'' est dérivable en 0 (i.e f' est dérivable en 0) ssi (f'(x)-f'(0))(x-0)=f'(x)/x admet une limite quand x tend vers 0.
Donc pour faire la question 3) il suffit de calculer la limite de f'(x)/x.

[tournesol]

Tu dois surtout dériver ta fonction et faire ensuite un DL du numérateur ce qui nécessite un DL de(tan x)^2 .

[Anaisdeistres]

Moi je trouve 0 pour f"(0) non 1/4 le dl aussi j'ai rien trouvé de fabuleux j'ai trouvé -(1/3)-7x/15 mafois pourtant j'ai fait mes calculs avec la calculatrice en ligne non mais sérieusement de toute façon quand x tend vers 0 on ne peut que trouver 0 ou une constante je ne vois pas d'exemple ou on trouve + infini je reste quand même sur l'idée que f"(0)=0