Prolongement de fonctions !

[barbu23]

Bonsoir :
Quant est ce que, généralement a-t-on droit de prolonger une fonction, ou par exemple, une distribution à un point , où à un bord ... etc ?
Quel est le principe de ce prolongement en général ? et quelles sont souvent les conditions sous les quelles on peut appliquer ce prolongement ? qu'est ce qu'il doit être vérifier por que ce prolongement ait lieu ?
Je vois un tas de théorème où on prolonge des fonctions à des domaines plus vastes : par exemple, théorème de Banach Steinhaus, prolongement nanalytique dans ... etc et recemment j'ai lu un article sur les espaces de Hardy ( i.e : espace des fonctions harmoniques sur le disque unité : ( c'est à dire : des fonctions qui sont solutions de l'équation de Laplace de dimesnion : ) definies sur le disque unité ) et on dit que ces types de fonctions sont prolongeables sur : ... donc, voilà, il y'a plein de type de prolongement qu'on trouve en analyse ..
Merci infiniment !

[legeniedesalpages]

Salut Pablo

théorème de Banach Steinhaus

dans la version que je connais, il n'est pas question de prolongement, tu ne confonds pas avec le théorème de Hahn-Banach qui permet de prolonger des formes linéaires?

[barbu23]

Oui, voila je parle de Hahn Banach "romu" ! :happy3:

[Nightmare]

Salut :happy3:

Pour le cas des prolongements analytiques, c'est le problème de Painlevé qui n'a pas encore été résolu. On a cependant la conjecture suivante

Si l'on se fixe un compact K contenu dans un ouvert . Une CNS sur K pour qu'une application bornée analytique sur soit prolongeable analytiquement sur est que la projection de K sur les droites de direction soit de longueur nulle presque pour tout x (au sens de lebesgue)

J'avais lu un article sur ça, si je le retrouve, je te le filerai.

[Nightmare]

On a par contre déjà des résultats un peu moins lourd :

Le théorème de Riemann nous dit que ça marche pour un point. Ca marche encore pour des ensembles finis et des compacts dénombrables.

On a aussi une condition nécessaire : K doit être totalement disconnexe.

[barbu23]

Salut :happy3:

Pour le cas des prolongements analytiques, c'est le problème de Painlevé qui n'a pas encore été résolu. On a cependant la conjecture suivante



J'avais lu un article sur ça, si je le retrouve, je te le filerai.

Ok ! ce sera avec plaisir "Nightmare" ! :happy3:
Par contre, l'idée fondamental concernant ce sujet m'échappe encore ! Le prolongement de fonctions ou de propriétés quelconques sur un domaine plus grand que le domaine de départ est très variée ! c'est un peu difficile de faire une petite synthèse qui résume le principe en général !
J'attends encore des reponses sur ce sujet si vous en avez ! et merci infiniment ! :happy3:

[Nightmare]

Ben déjà, il faudrait préciser ce qu'on veut prolonger, sinon c'est très vague ! Je t'ai répondu - partiellement - pour les prolongements analytiques, maintenant pour les distributions je n'en ai aucune idée, je n'ai pas encore étudié lla théorie des distributions..