Prolongation par continuité

[kokorico06]

Bonjour,

j'ai un petit souci sur un exo d'analyse!

On me demande si je peux prolonger la fonction suivante par continuité a droite en 0 ?

voici la fonction : f(x) = x / ln(x)

Je voulais savoir si je pouvais dire que la limite en 0+ de f est la même que la limite de x en 0 en utilisant les croissances comparées ?

De plus on me demande de préciser la demi tangente en 0! Je ne comprend pas la question :s Faut il donner l'équation ? si oui je ne sais pas comment faire !
*

Merci de votre aide :)

[arnaud32]

la limite de f en 0+ existe t elle?
si oui que vaut elle?

[kokorico06]

Bah si je peux utiliser le théoreme des croissances comparées alors la limite de f en 0+ vaut 0 pour moi (comme la limite de x en 0+). Du coup je peux prolonger la fonction par continuité avec une nouvelle fonction g telle que
g(x) = f(x) pour x strictement positif
g(x) = 0 pour x=0

Est-ce que c'est juste ?

L'autre souci c'est de préciser la demi tangente, je ne sais pas comment faire :s

[arnaud32]

oui et ta fonction g est elle derivable?

[kokorico06]

ma fonction est bien dérivable je trouve f'(x) = (ln(x) - 1) / ((lnx)²)

Que dois-je en conclure ?

[arnaud32]

sur R+ ok et en 0?

[kokorico06]

En 0, f'(x) n'a pas de limite finie

[arnaud32]

ah tu en es sure?
que vaut la limite en 0+ de (g(x)-g(0))/x ?

[kokorico06]

Ah oui elle vaut 0! Donc elle est dérivable à droite en 0, elle a donc une demi tangente en 0 ? :)

[arnaud32]

en effet c'est ca

[kokorico06]

D'accord merci bien :). Autre chose, la deuxième partie de l'exo c'est de faire l'étude de f et de résoudre a^b = bâ avec a et b deux ENTIERS strictement positifs et distincts.
Bon donc j'ai fait le truc normal, tableau de variation de f grâce à la dérivée, je trouve que f est décroissante de 0 a 1 (avec 1 valeur interdite) avec la limite de f en 0 = 0 et en 1- = - infini
puis décroissante de 1 a exp(1) avec limite en 1+ = + infini et en e = e puis enfin croissante de e a + infini avec limite en + infini = + infini !
j'ai dit que a^b = exp(b*ln(a)) et que b^a = exp(a*ln(b))
deux nombres exp sont egaux ssi leur exposant sont égaux ==> a*ln(b) = b*ln(a) .... j'ai pris l'inverse puis multiplier les deux membres par a*b
Et je tombe sur b/ln(b) = a/ln(a)
Ensuite j'ai dit que d'après le tableau des variations a et b appartiennent à ]1; + infini[
Ensuite que l'un des deux devait forcément appartenir a ]1; e[ et l'autre a ]e;+infini[
Le seul entier de ]1;e[ est 2 donc j'ai posé a= 2
Intuitivement je trouve bien que b = 4 mais je n'arrive pas à le prouver :(

Est-ce que tu saurais comment le démontrer ?

Merci déjà pour ton aide

[arnaud32]

si pour b=4 tu verifies ce quie tu veux, utilises la bijectivite de ta fonction sur [e, +oo[

[kokorico06]

Je ne comprend pas bien la bijectivité, ou plutôt je ne comprend pas comment l'utiliser ici !

[kokorico06]

Est-ce que c'est juste pour montrer que la solution 2^b = b^2 a une unique solution b sur ]e;+infini[ ?
Et donc après je dis juste que b = 4, on ne peut pas le démontrer ?? juste le "voir" ^^

[arnaud32]

d'apres ton tableau de variation tu trouves qu'une solution est composee d'un couple (a,b) avec a dans ]1,e[ et b dans ]e,+oo[
comme il n'y a qu'une solution pour a, il n'y a donc qu'un couple car g est bijective sur ]e,+oo[
b=4 fonctionne donc finalement tu n'as que cette solution

[kokorico06]

Ok merci :) Bonne soirée !