Projectivement bloqué

[fatal_error]

Hello,

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Je bloque sur l'exo 1...

Consider the parabola y = x2. Translate this into homogeneous coordinates and show that the line at infinity is tangent to it. Interpret the tangent geometrically by considering the parabola as the limit as k tends to $\infty$ of the ellipse 2kx2 + (y-k)2 - k2 = 0 (hint: this has tangent y=2k).

Considérer la parabole d'équation y=x^2. Traduire en composantes homogènes et montrer que la ligne à l'infini lui est tangeante....

Donc déjà, je comprends pas trop pourquoi on peut traduire la parabole d'équation y=x^2 en coordonnées homogènes. En feuilletant un peu, je sais qu'on peut donner l'équation homogène associée à y-x^2=0
Qui est yz=x^2

J'imagine qu'on veut montrer que la ligne à l'infinie, définie par le vecteur (0,0,1) est tangeante à la surface d'équation yz=x^2.

Le vecteur tangeant de f(x,y,z) = yz-x^2=0 c'est son gradient j'imagine.
cad df/fx = -2x, df/dy=z, df/dz=y donc vTangeant(x,y,z)=(-2x,z,y)

du coup, la ligne à l'infini tangeante à vTangeant(x,y,z) ca veut dire (-2x,z,-y)=(0,0,1), idem on a teangeance pour y=-1 en l'infini??

ca sent le délire complet vu y=x^2.

Une aide sur là où je pige pas?

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai pas la solution, mais je vois pas où on serait en 3D. La parabole est une conique, c'est l'intersection d'un cône avec un parallèle à la génératrice.
La direction asymptotique est donc parallèle à cette génératrice.
Si le plan est sécant et non pas parallèle, alors on obtient une ellipse (ou une hyperbole).
Moi, je partirais de l'équation d'une conique
ax² + by² + cxy + dx + ey + f =0.
Comme c'est une parabole le paramètre b est nul.
Mais dis sans doute des bêtises. :hum:

[leon1789]

J'ai pas la solution, mais je vois pas où on serait en 3D.

C'est de la géométrie projective.

[leon1789]

ca sent le délire complet vu y=x^2.

Même pas ! :zen:

Une aide sur là où je pige pas?

projectivement, on a bien yz = x^2

Pour passer à l'infini, il faut poser z = 0, d'où 0 = x^2 :
on voit alors une solution double x=0 , ce qui prouve que la droite à l'infini est bien tangente à la parabole ((0 : 1 : 0) est le point "double" de l'intersection de la parabole et de la droite à l'infini).

Remarquer que projectivement, on a (0 : -1 : 0) = (0 : 1 : 0) = (0 : y : 0) avec y non nul bien sûr.

[leon1789]

ca sent le délire complet.

Même pas ! :zen:

Une aide sur là où je pige pas?

projectivement, on a bien yz = x^2

Pour passer à l'infini, il faut poser z = 0, d'où 0 = x^2 :
on voit alors une solution double x=0 , ce qui prouve que la droite à l'infini est bien tangente à la parabole car (0 : 1 : 0) est le point "double" de l'intersection de la parabole et de la droite à l'infini.

Remarquer que projectivement, on a (0 : -1 : 0) = (0 : 1 : 0) = (0 : y : 0) avec y quelconque non nul bien sûr.

[fatal_error]

ok c'est clair, thx.

Je continue la suite, je reviendrai probablement :D