Projecteurs

[sad13]

Bonjour, on a p et q deux projecteurs.

x appartient à Im p + Ker p donc il existe (x1,x2) dans E*E tel que x=p(x1)+q(x2)

En composant cette égalité par p ou par q, montrer que x=(p+q)(x).

je n'arrive pas à le montrer , merci

[Skullkid]

Tu ne dis pas qui est x, ce que p et q ont de particulier et tu ne justifies pas ta première implication. En quoi le fait que x appartienne à Ker p + Im p implique-t-il que x peut s'écrire p(x1) + q(x2) ?

[sad13]

On a que x est dans E = Im p + Ker p

p et q sont des projecteurs

x appartient à Im p + Ker p donc il existe (x1,x2) dans E*E tel que x=p(x1)+q(x2)

cela découle de la définition de Imp + ker p , tout simplement

[Anonyme]

On a que x est dans E = Im p + Ker p
p et q sont des projecteurs
x appartient à Im p + Ker p donc il existe (x1,x2) dans E*E tel que x=x1+x2 avec et

cela découle de la définition de Imp + ker p , tout simplement

Voir les commentaires en rouge dans ton message.
Le fait de dire uniquement que p et q sont 2 projecteurs ne suffit pas pour résoudre ton exo.
Ton énoncé doit contenir, à mon avis plus de précisions sur p et q
ou la notion "d'orthogonalité" entre ces 2 projecteurs ?

Voici par exemple un raisonnement à faire pour trouver l'éventuel lien entre p et q
Si pour tour x de E, on a
Comme
par unicité de la décomposition de on obtient que .....

[arnaud32]

donc pour p=q tu trouverais x=2p(x) soit p(x)=x/2
mais alors dans ce cas comme p²=p tu as p(x)=1/2*p(x)=1/4*x
etrange non?

[sad13]

demain je vous donne les détails manquants car là, je l'ai retranscrit de tête cela dit:

il fallait montrer

que p+q projecteur <=> pq=qp=0

et les lignes que j'ai écrites font parti de la démo de la réciproque( si je ne me trompe pas)

[Anonyme]

demain je vous donne les détails manquants car là, je l'ai retranscrit de tête cela dit:

il fallait montrer

que p+q projecteur pq=qp=0

et les lignes que j'ai écrites font parti de la démo de la réciproque( si je ne me trompe pas)

A mon avis l'énoncé de cet exo est
Soit p et q 2 projecteurs de E sur E
On a pour tout x de E : x=p(x)+q(x) si et seulement si poq(x)=qop(x)=0

[sad13]

Bonjour, voilà l'énoncé : Soit E un K-e.v et p,q deux projecteurs de E.

*)Montrer que p+q est un projecteur pq=qp=0

la question qui me perturbe est celle ci

**) Im(p+q)=Im p en somme directe avec Im q
On montre que l'intersection est égale à {0}, puis on raisonne par double inclusion et c'est l'inclusion:
Imp+Im q c Im(p+q) qui me perturbe:

soit x appartient Im p + Im q. Il existe (x1,x2) dans E² tel que x=p(x1)+q(x2). Puis je veux appliquer leur indication mais je n'arrive pas: Composer cette égalité par p ou par q puis montrer que x=(p+q)(x)


merci

[Skullkid]

L'énoncé est encore faux tel que tu l'as recopié. La question 2 est probablement : sachant que p+q est un projecteur, montrer que Im(p+q) = Im p somme directe Im q.

[sad13]

non il n'y avait que ça mais comme c'est à la suite de la 1), je pense qu'on doit intégrer le fait que p+q est projecteur, merci

[Skullkid]

Étant donné que le résultat est en général faux (bis repetita) quand p+q n'est pas un projecteur, oui.

Donc tu dois supposer en plus que p+q est un projecteur et te servir de la question 1, il n'y a rien de dur.

[sad13]

oui, c'est ce que j'ai fait mais pour conclure , il faudrait composer par p ou q mais je ne vois pas comment cela résoudrait voire conclurait la question

[Skullkid]

Tu as x = p(x1) + q(x2). Que vaut (p+q)(x) ?

[sad13]

(p+q)(x)= p(x1)+q(x2) en utilisant le fait que pq=qp=0 or x=p(x1)+q(x2)=(p+q)(x)

donc x=(p+q)(x) i.e x est Im(p+q) cqfd

Le seul truc qui me gêne c'est qu'ils ont mis comme indication : Composer cette égalité par p ou par q

or on a composé par p+q


merci

[Skullkid]

Composer par p+q c'est composer par p, puis par q, et ajouter.

[sad13]

oui bien vu , vs êtes en forme; sinon it's ok pr ce que j'ai écrit en haut?

merci

[Skullkid]

Oui, c'est tout bon.