Projecteurs

[mehdi-128]

Bonsoir, je bloque sur la démonstration de l'équivalence suivante :

Soit E un R ev. On considère 2 endomorphismes u et v de E. Montrer l'équivalence suivante :

1) uov=u et vou=v

2) u et v sont des projecteurs ayant le même noyau

J'ai essayé de montrer 2=>1

Je suis parti de u et v sont des projecteurs donc : uou=u et vov=v et Ker(u)=Ker(v)

Mais après je bloque...

[Nightmare]

Salut,

u et v étant des projecteurs, et même chose en remplaçant Ker(u) par Ker(v) puisqu'ils sont égaux.

Soit x dans E, il se décompose au choix en avec et v(z) dans Im(v) ou en .

- car y est dans le noyau de v et u et vov=v

- .

On a bien ce qu'on voulait.

Le cas 1 => 2 est quasiment évident.

:happy3:

[euler21]

Bonsoir
Pour cette implication tu dois montrer que tu as uov(x) =u(x).
le principe c'est de partir de v(x)=(v(x)-x)+x

[mehdi-128]

Salut,

u et v étant des projecteurs, et même chose en remplaçant Ker(u) par Ker(v) puisqu'ils sont égaux.

Soit x dans E, il se décompose au choix en avec et v(z) dans Im(v) ou en .

- car y est dans le noyau de v et u et vov=v

- .

On a bien ce qu'on voulait.

Le cas 1 => 2 est quasiment évident.

:happy3:

Pour la 2 je pars de :

uov=u et vou=v

Donc : uovou=v et la je sais plus quoi faire ...

[mehdi-128]

Je crois qu'il y a une erreur ici :

- car y est dans le noyau de v et u et vov=v

C'est plutôt :

[Nightmare]

Oui tu as tout a fait raison, coquille corrigée !

[Nightmare]

Comme je l'ai dit, le cas 1=>2 n'est vraiment pas difficile :

Si x est dans le noyau de u, alors v(x)=vou(x)=v(0)=0 donc x est dans le noyau de v est vice versa par symétrie des rôles.

En plus, uou=(uov)ou=uo(vou)=uov=u et même chose pour v encore par symétrie des rôles!