Projecteurs et supplémentarité

[Wenneguen]

Bonjour,

je sais que pour un projecteur p d'un espace vectoriel E, on a toujours Im(p) et Ker(p) en somme directe tels que Im(p) + Ker(p) = E. Cependant, la réciproque est-elle vraie ?

Merci.

[Ericovitchi]

non bien sûr que non. on peut avoir des endomorphismes tel que Im(p) + Ker(p) = E et qui ne sont pas des projecteurs. (d'ailleurs en dimension finie, on a le théorème du rang et on a Im(p) + Ker(p) = E pour tous les endomorphismes, projecteur ou pas. En dimension infinie, on doit pouvoir trouver des exemples où on a pas Im(p) + Ker(p) = E. Voir discussion : lien

Ce qui caractérise un projecteur c'est p²=p

[Luc]

Salut,
Oui c'est vrai, en effet supposons F et G supplémentaires. Alors tout vecteur de E se décompose de façon unique . Définissons l'application de E dans E qui à x associe dans cette écriture. est bien définie car F et G sont supplémentaires. De plus, est linéaire (exercice). De plus, donc est un projecteur. On dit que est la projection sur F parallèlement a G. Attention, dépend de F et de G. Il est important de réaliser cela sur un dessin de droites dans le plan: il n'y a pas unicité d'un supplémentaire de F dans E.

Luc

[Doraki]

Bonjour,

je sais que pour un projecteur p d'un espace vectoriel E, on a toujours Im(p) et Ker(p) en somme directe tels que Im(p) + Ker(p) = E. Cependant, la réciproque est-elle vraie ?

Merci.

non : regarde f(x) = 2x

[Luc]

non bien sûr que non. on peut avoir des endomorphismes tel que Im(p) + Ker(p) = E et qui ne sont pas des projecteurs. (d'ailleurs en dimension finie, on a le théorème du rang et on a Im(p) + Ker(p) = E pour tous les endomorphismes, projecteur ou pas. En dimension infinie, on doit pouvoir trouver des exemples où on a pas Im(p) + Ker(p) = E. Voir discussion : lien

Ce qui caractérise un projecteur c'est p²=p

Il y a deux façons de formuler une réciproque en fait :
- étant donnes F et G supplémentaires dans E, existe-t-il un projecteur tel que Im(p)=F, Ker(p)=G?
Réponse : Oui (cf mon post plus haut)
- si p est un endomorphisme de E tel que Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires, p est-il un projecteur? Réponse : Non (cf exemple de Doraki)

Luc

[Ericovitchi]

Il y a deux façons de formuler une réciproque en fait :
- étant donnes F et G supplémentaires dans E, existe-t-il un projecteur tel que Im(p)=F, Ker(p)=G?
Réponse : Oui (cf mon post plus haut)
- si p est un endomorphisme de E tel que Im(p) et Ker(p) sont supplémentaires, p est-il un projecteur? Réponse : Non (cf exemple de Doraki)

Luc

oui OK. J'avais compris la deuxième proposition.

[emdro]

en dimension finie, on a le théorème du rang et on a Im(p) + Ker(p) = E pour tous les endomorphismes, projecteur ou pas.

Bonjour,

attention c'est faux... Le théorème du rang dit simplement que dim(Im(p)) + dim(Ker(p)) = dim(E), ce qui n'implique pas que Im(p) + Ker(p) = E.

Prenez dans l'application qui à (x,y) associe (y,0) pour vous en convaincre.

[Luc]

d'ailleurs en dimension finie, on a le théorème du rang et on a Im(p) + Ker(p) = E pour tous les endomorphismes, projecteur ou pas

Attention, il est faux en général que Im(p) + Ker(p) = E.
Le théorème du rang nous dit juste que dim(Im(p) + Ker(p))=dim(E)-dim(Im(p) Ker(p)).
On peut montrer que Im(p) Ker(p)={0} est équivalent a ker(p^2)=ker(p).
Donc si l'on se place dans E=R^2, et que l'on prend le shift, l'endomorphisme p qui a (x,y) associe (y,0), on voit que son Im(p)+Ker(p)=Vect(e1) n'est pas égal a E.

Edit : grilled! :lol3:

Luc

[Ericovitchi]

Oui d'accord, j'ai dit une bêtise.