Produits d'idéaux

[busard_des_roseaux]

Bjr,

dans l'anneau
on a la factorisation


est-ce que le produit d'idéaux restaure l'unicité de la factorisation?

merci d'avance.

[leon1789]

est-ce que le produit d'idéaux restaure l'unicité de la factorisation?

heu.... je ne comprends pas trop la question :hein: (mais je vais quand même répondre non)

Tu penses à quels idéaux ?

[yos]

Je ne crois pas.
Factorisation unique en produit d'idéaux premiers = anneau de Dedekind = =noethérien, intégralement clos et tout idéal premier est maximal.
Déjà Z/6Z[X] est pas intègre donc...

[busard_des_roseaux]

heu.... je ne comprends pas trop la question :hein: (mais je vais quand même répondre non)

Tu penses à quels idéaux ?

Aux quatre idéaux principaux ,, et .

[leon1789]

Aux quatre idéaux principaux ,, et .

ben cela ne change rien car = ok,
mais , , , sont quatre idéaux bien différents.

[leon1789]

Je ne crois pas.
Factorisation unique en produit d'idéaux premiers = anneau de Dedekind

oui et non.

Si tu veux que, dans un anneau intègre, tous les idéaux non nuls se factorisent de manière unique en produit d'idéaux premiers, alors oui, anneau de Dedekind.

En terrain non intègre ??

Et si on veut qu'un idéal donné (c'est le cas ici) se factorise de manière unique en produit d'idéaux premiers, alors inutile de chercher un anneau de Dedekind. Il suffit par exemple que ce seul idéal soit inversible.

[leon1789]

Aux quatre idéaux principaux ,, et .

ben cela ne change rien car = ok,
mais , , , sont quatre idéaux bien différents.

Mais si on passe aux idéaux premiers, a-t-on une factorisation unique en idéaux premiers ? ... à suivre....

[leon1789]

Je ne crois pas.
Factorisation unique en produit d'idéaux premiers = anneau de Dedekind

oui et non.

Si tu veux que, dans un anneau intègre, tous les idéaux non nuls se factorisent de manière unique en produit d'idéaux premiers, alors oui, anneau de Dedekind nécessaire et suffisant.

En terrain non intègre ? c'est pas nécessaire : dans Z/4Z, tout idéal non nul se factorise en produit d'idéaux premiers de manière unique.

Et si on veut qu'un idéal donné (c'est le cas ici) se factorise de manière unique en produit d'idéaux premiers, alors inutile de chercher un anneau de Dedekind. Il suffit par exemple que cet idéal et les idéaux maximaux qui le contiennent soient inversibles. Est-ce le cas ici ? ...à suivre...

[leon1789]

Aux quatre idéaux principaux ,, et .

on remarque que ces quatre idéaux de Z/6Z[X] sont inclus dans les idéaux maximaux , , ,

Plus précisément
=
=
=
=

Ainsi, les deux factorisations = I = se décomposent à leur tour en I =

Cette factorisation de I en quatre idéaux premiers est-elle unique ?

[leon1789]

Aux quatre idéaux principaux ,, et .

on remarque que ces quatre idéaux de Z/6Z[X] sont inclus dans les idéaux maximaux , , ,

Plus précisément
=
=
=
=

Ainsi, les deux factorisations = I = se décomposent à leur tour en I =

Cette factorisation de I en quatre idéaux maximaux est-elle unique ?

[leon1789]

Cette factorisation de I en quatre idéaux maximaux est-elle unique ?

La réponse est oui ! En effet les éléments X-k sont des éléments réguliers que l'anneau Z/6Z[X], et les deux égalités (par exemple)
=
=
montrent que les quatre idéaux , , , sont inversibles.

Conclusion : la factorisation primaire I = est unique. :zen:

[leon1789]

Je ne crois pas.
Factorisation unique en produit d'idéaux premiers = anneau de Dedekind = =noethérien, intégralement clos et tout idéal premier est maximal.
Déjà Z/6Z[X] est pas intègre donc...

En fait, on voit bien qu'en terrain non intègre, on peut quand même avoir une factorisation unique en idéaux premiers : exemple simple où D et D' sont deux anneaux principaux (ou de Dedekind si on veut).

Ici, l'anneau est qui est isomorphe à : c'est donc un produit de deux anneaux principaux, donc dans , tout idéal se factorise de manière unique en produit d'idéaux premiers.