Produits délicats

[dilzydils]

Bonjour
Pourriez-vs m'aider à resoudre:
E=produit pr kv ariant de 1 à 2n des tan(k*Pi/(2n+1))
Merci

[Mikou]

C'est a dire ? donner un formule "explicite" ?

[Pythales]

Il faut partir de l'équation :
(x+1)^(2n+1)-(x-1)^(2n+1)=0 (de degré 2n)
dont le produit des racines vaut : 1/(2n+1) (facile à vérifier)
L'équation s'écrit :
((x+1)/(x-1))^(2n+1)=1=e^2.k.pi.i
x+1=(x-1).e^2.k.pi.i/(2n+1)
et après quelques transformations : x=-i.cotg(k.pi/(2n+1))
Si j'appelle P le produit à calculer, on obtient (-1)^n/P=1/(2n+1)
soit P=(-1)^n.(2n+1)

Ainsi :
Tg(pi/3).tg(2pi/3)=-3
Tg(pi/5).tg(2pi/5).tg(3pi/5).tg(4pi/5)=5
etc ...