Changements de variable "délicats"

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Dans mon exercice, je suis censé faire des changements de variable apparemment délicats.

L'énoncé est le suivant:

1) Prouver que l'aire d'un quart de disque de rayon 1 est Intégrale de 0 à 1 de racine(1-x²)dx et la calculer. (comparer avec le cacul de Intégrale de 0 à 1 de x.racine(1-x²)dx: laquelle est la plus simple?)
2) Calculer, avec un changement de variable:
(ce sont toutes des intégrales sans bornes)
a)dx/(x.ln(x))
b) x(2x+5)^10
c) dx/(exp(x)+1)
d) (sinx-cosx)/(sinx+cosx)

Voilà. J'ai déjà réussi la 2)a) et la 2)d), mais je n'ai pas trouvé la b) et la c).
Quant à la question 1, je suis resté bloqué car je n'arrive pas à résoudre la première partie de la question.

Merci d'avance

[Luc]

Salut,

quelle est l'équation du cercle de rayon 1 et de centre O?
Pour faire le lien avec l'intégrale, pense à l'aire sous la courbe.

Tes "intégrales sans bornes" sont des primitives. On te demande donc de primitiver les fonctions données.

Pour la b), je tenterais d'écrire 2*x(2x+5)^10+5*(2x+5)^10=(2x+5)^11, et de calculer (2x+5)^10 et (2x+5)^11 avec le changement de variable u= (2x+5).

Pour la c), tu as essayé de poser u=exp(x) ? Si ça ne marche pas, essaye u=exp(x/2)

[Yozamu]

L'équation d'un cercle de rayon 1 est x²+y²=1, mais je ne comprends pas vraiment comment je peux trouver l'aire d'un quart de disque.

Pour la b), je n'ai pas compris d'où vient ce calcul:
" 2*x(2x+5)^10+5*(2x+5)^10=(2x+5)^11 "

Pour la c), j'ai déjà essayé avec exp(x), mais sans succès..
En essayant avec exp(x/2), j'obtiens 1/(t²+1) que je sais primitiver mais je n'arrive pas à placer le dt

[Luc]

L'équation d'un cercle de rayon 1 est x²+y²=1, mais je ne comprends pas vraiment comment je peux trouver l'aire d'un quart de disque.

Donc l'équation du quart supérieur droit du cercle peut s'écrire puisque y est positif.

Pour la b), je n'ai pas compris d'où vient ce calcul:
" 2*x(2x+5)^10+5*(2x+5)^10=(2x+5)^11 "

C'est juste que je fais apparaître artificiellement un (2x+5) pour pouvoir le factoriser.
Du coup, si l'on arrive à primitiver (2x+5)^10 et (2x+5)^11, ça sera gagné.

Pour la c), j'ai déjà essayé avec exp(x), mais sans succès..
En essayant avec exp(x/2), j'obtiens 1/(t²+1) que je sais primitiver mais je n'arrive pas à placer le dt

Pense à t^2=exp(x), et différencie cette équation. d(t^2)=2tdt=d(exp(x))=exp(x)dx.
Donc dt=exp(x)dx/(2t)=t^2dx/(2t)=t/2dx

[Yozamu]

Je n'y comprends vraiment rien..

Sauf pour le cercle, là j'ai compris, merci.

Mais sinon, pour les deux autres, je comprends pas...

[Luc]

Je n'y comprends vraiment rien..

Sauf pour le cercle, là j'ai compris, merci.

Mais sinon, pour les deux autres, je comprends pas...

b) J'écris juste que

c) Si tu n'as pas vu la différentiation, c'est pas grave, pose t=exp(x/2) et dérive cette fonction de x pour avoir dt/dx.

[Yozamu]

D'accord, et comment arrives tu à trouver cette relation? http://www.maths-forum.com/images/latex/7640d4d43377f0a4d4c205b5adef3709.gif
Parce qu'elle me parait pas du tout évidente, donc même si elle est juste, si je passe au tableau et que je dois expliquer comment je suis passé de l'une à l'autre... Je saurais vraiment pas.

Le problème pour la derniere c'est qu'il me semble avoir vu la différenciation, et il me semblait bien que je n'avais rien compris, et là, ça se confirme.

à la base, j'ai l'intégrale de dx/(exp(x)+1), donc si je prends t=exp(x/2) alors j'ai dt=0.5exp(x/2) et donc c'est à ce niveau que je n'ai rien compris:
D'après ce que j'ai pu voir de la correction des autres exercices, on passait à chaque fois d'une forme contenant une expression avec dx à une expression contenant t et dt, or ici je n'arrive pas à remplacer quelque chose par dt, puisqu'il n'y a pas de 0.5exp(x/2) a remplacer par dt...

[Luc]

D'accord, et comment arrives tu à trouver cette relation? http://www.maths-forum.com/images/latex/7640d4d43377f0a4d4c205b5adef3709.gif
Parce qu'elle me parait pas du tout évidente, donc même si elle est juste, si je passe au tableau et que je dois expliquer comment je suis passé de l'une à l'autre... Je saurais vraiment pas.

Parce qu'en factorisant,

Le problème pour la derniere c'est qu'il me semble avoir vu la différenciation, et il me semblait bien que je n'avais rien compris, et là, ça se confirme.

à la base, j'ai l'intégrale de dx/(exp(x)+1), donc si je prends t=exp(x/2) alors j'ai dt=0.5exp(x/2) et donc c'est à ce niveau que je n'ai rien compris:

Exact, car il y a une petite erreur : c'est dt=0.5exp(x/2)dx !
Il n'y a pas à avoir peur des dt et des dx, tu peux te contenter pour le moment de considérer que dt/dx = t'(x) (dérivée de t par rapport à x). C'est ce qu'on fait en physique, même au lycée.

D'après ce que j'ai pu voir de la correction des autres exercices, on passait à chaque fois d'une forme contenant une expression avec dx à une expression contenant t et dt, or ici je n'arrive pas à remplacer quelque chose par dt, puisqu'il n'y a pas de 0.5exp(x/2) a remplacer par dt...

C'est parce que tu avais oublié le dx!

[Anonyme]

d) (sinx-cosx)/(sinx+cosx)

Celle si est facile car on peut poser u(x)=sinx+cosx
et on remarque que u'(x)=cosx-sinx