Produit scalaire, endomorphisme et intégrales

[ommilandji]

Bonjour à tous, voici un exercice que j'ai du mal à résoudre :

On considère l'espace euclidien E = C0 ([0;1] ; R) muni du produit scalaire < ; > suivant :
Pour tout (f,g) appartenant à E² < f ; g > = intégrale (de 0 à 1) f(x).g(x) dx
On note T l'opérateur défini pour tout f de E par : Pour tout x appartenant à [0;1] T(f)(x) = intégrale (de 0 à x) f(t)dt

1) Justifier que T appartient à L(E)
Autrement dit, montrer que T est un endomorphisme de E.
Je justifie en disant que, par définition de l'intégrale, pour tout f de E et pour tout x de [0;1] on a bien intégrale (de 0 à x) f(t)dt dans R donc T(f) dans E

2) Montrer qu'il existe un unique élément de L(E) noté T* tel que : Pour tout (f,g) appartenant à E² <T(f) ; g> = <f ; T*(g)>
NB : On cherchera à définir explicitement T*(f)(x) en passant par des intégrations par parties.
Par calcul je trouve T*(f)(x) = intégrale (de x à 1) f(t)dt soit l'unique primitive de f qui s'annule en 1

3) a) Montrer que T est injectif et non surjectif
Ici je cherche à montrer que T(f) = 0 => f=0. Mon idée est de dire que pour toute fonction f dans E, [0;1] est l'ensemble des intervalles [0;x1], [x1,x2],..., [xn, 1] tel que f est de même signe sur chaque intervalle. Ainsi on a T(f)(x1) = 0 avec f de signe constant sur l'intervalle [0,x1] donc f est nécessairement nulle sur cette intervalle. Ensuite on démontre la même chose sur l'intervalle [x1,x2] avec T(f)(x2) = 0 et f déjà nulle sur [0,x1]. Par récurrence on montre que f est nulle sur [0,1]. Je sais que c'est mal posé et je suppose qu'il existe un autre moyen plus élégant et plus efficace pour le montrer mais je n'ai rien trouvé de mieux.
Pour la non-surjectivité, qui revient à montrer qu'il existe f appartenant à E telle qu'il n'existe aucune fonction g dans E vérifiant T(g)(x) = f(x) pour tout x.
J'ai du mal à trouver un contre-exemple.

b) Montrer que T ne possède aucune valeur propre.
J'ai essayé de travailler avec l'égalité montrée en 2 et le T* mais je n'arrive pas à montrer que T(f)- a . f = 0 => f = 0 (avec a constante non nulle)

4) Soit b une valeur spectrale éventuelle de T, c'est-à-dire que b Id - T soit non inversible
a) Justifier que pour tout b appartenant à R l'opérateur b Id - T est injectif
b) Montrer que pour tout b appartenant à R* l'opérateur b Id - T est surjectif
c) Que peut-on en déduire pour b ?

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Commençons par le 1) : je ne vois rien dans ce que tu écris qui justifie que T est bien linéaire.
Pour la 2) je ne vois pas de problème.
Pour la 3) : ne peux-tu pas dire simplement comment f s'obtient à partir de Tf ? Relis comment Tf est défini.

[ommilandji]

Effectivement il faut que je reprenne mes bases sur les endomorphismes.
Pour 1) je dois vérifier que T(f) est bien dans E et que T(a. f + g) = a . T(f) + T(g)
Pour 2) je ne suis pas sûr que le calcul direct suffise à démontrer l'unicité en affirmant qu'il s'agit de la primitive de f qui s'annule en 1, a priori unique.
Une façon de le montrer est de supposer T** vérifiant la même égalité que T*. En calculant la norme de T**-T* (via le produit scalaire) je trouve que celle-ci est nulle donc que T**-T* = 0. Donc T* = T**
Pour 3) effectivement, je suis passé complètement à côté de la dérivation. Avec ce raisonnement j'aboutis bien à T(f) = 0 => T'(f) = 0 donc f = constante = f(0) or T(f)(0) = 0 = constante . f(0) donc f est nulle.