Problème de probabilité.

[bertrand125]

Un lycée comporte une entrée séparée par un pilier central. Les élèves passent soit à gauche du pilier, soit à droite. Il arrive que l'un des deux passage soit bloqué par des élèves qui fument une cigarette devant le lycée.

Ainsi, la probabilité que l'entrée gauche soit bloquée est de Pg, et celle que l'entrée droite soit bloquée est de Pd. Si une entrée est bloquée, l'autre est toujours libre.

Deux élèves se téléphone chaque matin et se mettent d'accord pour passer du même coté du pilier, seulement si le passage n'est pas bloqué. Les deux élèves n'arrivent pas forcément au même moment, ainsi, l'élève A peut trouver le passage droit libre, et l'élève B peut le trouver bloqué.

Qu'elle est la probabilité que les deux élèves passent du même coté du pilier, exprimée en fonction de Pg et de Pd ?

[beagle]

sans doute rajouter:
-proba de choix initial des lycéens, proba qu'ils choisissent G ou D
sinon dire que l'on va prendre 1/2
-dire que l'on prendra commes probas indépendantes le blocage à l'arrivée du premier et le blocage à l'arrivée du second.Ce qui dans la vraie vie serait faux, on aurait plutot une proba liée.Mais comme on n'a pas d'éléments pour cela, et qu'en plus cela rend plus pénibles les calculs, partons sur indépendance.

Donc proba que le premier passe
x
proba que le second passe

et on passe soit en 1- proba bloqué
soit proba les deux passages ouverts + proba coté non choisi est bloqué

A commencer, pas obligatoire, mais je trouve plus facile, par scinder en deux:
les deux lycéens ont choisi de passer à gauche (proba de leur choix et proba de leur réussite)
les deux lycéens ont choisi de passer à droite

[bertrand125]

Donc on aurait:

Proba que passage gauche soit libre = 1 - Pg
Proba que passage droit soit libre = 1 - Pd

1) ils ont choisit de passer à gauche:
- P(g,g) = 1/2 * (1 - Pg)^2
- P(g,d) = 1/2 * (1 - Pg) * (1 - Pd)
- P(d,g) = 1/2 * (1 - Pg) * (1 - Pd)
- P(d,d) = 1/2 * (1 - Pd)^2

2) Les mêmes probas si ils ont choisit de passer à droite

[Tiruxa]

Pour chacun des deux, lorsqu'il se présente au lycée on a 3 événements qui forment une partition :

G: "la porte gauche est bloquée"
D : "la porte droite est bloquée"
L : "les deux portes sont libres"
(il s'agit d'une partition car G et D sont incompatibles)
dont les probas sont pg, pd et 1-pg - pd.

On peut donc faire un arbre pondéré

S'ils ont choisi la gauche
Les branches qui sont favorables sont G1 et G2, D1 et D2, D1 et L2 (en effet le 1er passe à gauche car la droite est bloquée et le 2eme aussi puisque il a le choix mais ils ont décidé dans ce cas de choisir la gauche), L1 et D2 (même raison), L1 et L2.
Soit donc
1/2[pg² +pd² +2pd(1-pd-pg) +(1-pd-pg)²]

Il reste à faire le cas où ils choisissent la droite puis ajouter.