Problème probabilité

[pluie2]

Bonjour, dans l'optique d'un prochain DS j'aimerais avoir une aide sur cet exercice :

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n composées au départ pour l'urne n°1 de 5 jetons rouges, de 3 jetons noirs et 2 jetons blancs, et pour toutes les autres urnes de 3 jetons noirs, 3 jetons rouges et 3 jetons blancs. On effectue alors n tirages successifs dans ces urnes en suivant le protocole suivant :
Pour tout k de {1,2...,n-1}, on effectue le kième tirage dans l'urne n°k. On tire un jeton on note sa couleur et on le met dans l'urne n°k+1
Le nième tirage se fait alors dans l'urne n°n. On tire un jeton et on le met dans l'urne n° 1.
On note, pour tout k de {1,2,...,n}, Rk "On obtient un jeton rouge au kième tirage", Nk" on obtient un jeton noir au kième tirage" et Bk "on obtient un jeton blanc au kième tirage".

1. a) Déterminer p(R1), P(N1) et p(B1)
b) Sachant que Rk est réalisé, quelle est la composition de l'urne n°(k+1) avant le (k+1)ème tirage ? Déterminer p(Rk+1/Rk)
c) Déterminer P(Rk+1/Nk) et p(Rk+1/Bk)

2. On suppose que n=3.
a) Calculer p(R2)
b) Calculer la probabilité que les trois jetons tirés soient rouges
c) Déterminer la probabilité que les trois jetons tirés soient de la même couleur
d) Calculer la probabilité que l'urne n°1 ait la même composition au début et à la fin des trois tirages (et remises)

3. On revient au cas général.
a) Montrer que pour tout k de {1,2...,n-1}, p(Rk+1)=1/10p(Rk)+3/10. En déduire la valeur de P(Rk) pour tout k de {1,2...,n}
b) calculer la probabilté que tous les jetons tirés aient été rouges, qu'aucun n'ait été rouges et qu'au cours de n tirages chacune des couleurs soit apparue au moins une fois.

J'ai fait :

a) p(R1)=5C1 / 10C1 p(N1)=3C1/10C1 et p(B1)=2C1 / 10C1
b) p(Rk+1/Rk) = p(Rk+1 et Rk)/P(Rk)= ?
c) ?

2. a) p(R2)= on obtient un jeton rouge au deuxième tirage donc :
p(R2)=(7C1)(3C1) / 10C1
b) Les trois jetons tirés sont rouges :
P(R)=[(3/10 + 2/9 + 1/9)]+[(3/10 + 2/9 + 3/10)] + [(3/10+4/11+3/10)] + [(3/10 + 2/9 + 3/10)]
c)

je ssuis vraiment bloquée pouvez vous m'aider ?
:help:
merci

[Ben314]

Salut,
Pour le a), c'est O.K. (encore que je trouve ça un peu ridicule d'utiliser des combinaisons dans le cas où on tire un seul élément parmi n...)

Pour le b), La formule que tu as écrite est correcte (c'est la définition d'une proba conditionelle), mais ce n'est pas du tout adapté à la question :

Ici, la proba Rk, c'est le nombre de boule rouge de l'urne k divisé par le nombre total de boules.
Pour le nombre total, c'est simple, c'est 8+1 (celle qu'on a rajouté), mais pour le nombre de rouge, c'est chiant vu qu'on risque d'en avoir rajouté une dans l'urne et que justement, la proba qu'on ait rajouté une boule dans l'urne, ben c'est R(k-1) donc on tourne un peu en rond...
Conclusion :le calcul direct de Rk ne semble pas évident du tout...

Par contre, le calcul de p(Rk+1 sachant Rk) est trés simple vu que ça corespond à se demander quelle est la proba de tirer une rouge sachant que c'est une rouge qu'on a rajouté dans l'urne.


Pour le 2)a), c'est faux : le nombre total de boules dans l'urne 2 sera forcément de 8+1 (on en a rajouté une) mais le nombre de boules rouges va dépendre du résultat du tirage dans la 1er urne donc il faut distinguer 2 cas selon que le premier tirage a donné une boule rouge (qu'on a ajouté dans la 2em urne) ou pas...

[pluie2]

bonjour et merci de m'avoir répondu

1. b) p(Rk+1/Rk)=

mais je dois considérer k+1 tirages et ça j'ai du mal à le comprendre pour écrire la probabilité car : quelle urne choisir parmi les 3 ?
j'ai du mal à voir

2. a) p(R2)=5/10*4/10 + 5/10*3/9

[Ben314]

bonjour et merci de m'avoir répondu

1. b) p(Rk+1/Rk)=

mais je dois considérer k+1 tirages et ça j'ai du mal à le comprendre pour écrire la probabilité car : quelle urne choisir parmi les 3 ?
j'ai du mal à voir

2. a) p(R2)=5/10*4/10 + 5/10*3/9

Bon, déjà, dans le 1), tu n'as pas 3 urnes mais n (c'est UNIQUEMENET dans le 2) qu'on considère que n=3)
Aprés, il me semble que tu te fout de savoir quelle urne c'est vu que, à part la première, elle contienne toutes la même chose avant rajout.
Enfin, vu qu'on te demande la proba conditionelle "sachant qu'on a rajouté une rouge", ben t'as absolument toute les infos pour répondre.

Pour le 2),a), sans regarder les nombre en détail, c'est forcément faux vu que tu n'a pas de division par 9 alors que le tirage dans la 2em urne se fait alors qu'elle contient 9 boules.
Sinon, la "forme" du résultat est correcte (2 cas)

[pluie2]

1. b) p(Rk+1/Rk) = 6/11 cela me semble trop simple...ou faux
c) P(Rk+1/Nk)= la probabilté de tirer une rouge sachant qu'on a tiré une noire et p(Rk+1/Bk) la probabilité de tirer une rouge sachant qu'on a tiré une blanche

Donc : P(Rk+1/Nk)=5/11 et p(Rk+1/Bk) =2/11
2. a) p(R2)=5/10*4/10 + 5/10*3/9
Si au premier tirage, on a pas tiré une boule rouge alors on l'a met dans l'urne 2 : 5/10*3/10
Si au premier tirage, on a tiré une boule rouge alors on l'a met dans l'urne 2 soit :
5/10*4/10

[Ben314]

Je viens de me rendre compte que je sais pas faire 3+3+3...
Les urnes, avant ajout contiennent 9 boules (et pas 8 comme je l'ai dit plus haut) et donc aprés ajout, elles en contiennent 10 (et pas 9 comme je l'avais dit plus haut).

Donc toutes tes proba conditionelle c'est forcément des divisions par 10.
Plus précisément, P(Rk+1 sachant Rk)=4/10 (3+1 rouges sur 9+1 boules)
Et P(Rk+1 sachant Bk)=P(Rk+1 sachant Bk)= 3/10 (3+0 rouges sur 9+1 boules)

C'est O.K. pour le 2)a) dans les 2 phrases d'explications, mais tu as tapé 3/9 dans la formule de départ...


Et là, c'est super mal dit :

1. b) p(Rk+1/Rk) = 6/11 cela me semble trop simple...ou faux (... 2em option...)
c) P(Rk+1/Nk)= la probabilté de tirer une rouge sachant qu'on a tiré une noire le coup d'avant et p(Rk+1/Bk) la probabilité de tirer une rouge sachant qu'on a tiré une blanche le coup d'avant

Donc : P(Rk+1/Nk)=5/11 et p(Rk+1/Bk) =2/11 <=FAUX
2. a) p(R2)=5/10*4/10 + 5/10*3/9
Si au premier tirage, on a pas tiré une boule rouge alors on l'a met dans l'urne 2 : 5/10*3/10
Si au premier tirage, on a tiré une boule rouge alors on l'a met dans l'urne 2 soit :
5/10*4/10

[pluie2]

ok
2. b) Calculer la probabilité que les trois jetons tirés soient rouges

On a toujours 3 urnes.
Soit p(R1 et R2 et R3)= le jeton tiré est rouge au premier tirage et rouge au deuxième et aussi au troisième

Donc p(A)=5/10 * (5/10*4/10 + 5/10*3/10) * (5/10*4/10*5/11 + 5/10*3/10*3/11)

[Ben314]

ok
2. b) Calculer la probabilité que les trois jetons tirés soient rouges

On a toujours 3 urnes.
Soit p(R1 et R2 et R3)= le jeton tiré est rouge au premier tirage et rouge au deuxième et aussi au troisième

Donc p(A)=5/10 * (5/10*4/10 + 5/10*3/10) * (5/10*4/10*5/11 + 5/10*3/10*3/11)

Non, c'est pas le produitdes trois proba vu que les évènement ne sont clairement pas indépendants : la proba de R2 est plus grande lorsque tu as tiré rouge au premier coup que lorsque tu as tiré non rouge au premier coup.
L'autre façon de voir que ça déconne complet, c'est que dans ton deuxième terme, le morceau 5/10*3/10 il provient du cas ou tu as tiré autre chose que rouge au premier coup et qu'il n'a clairement rien à faire ici.

En fait, le résultat est bien plus simple que ça...

[pluie2]

j'ai vraiment du mal avec ce genre d'exercices !

p(R1 et R2 et R3)= le jeton tiré est rouge au premier tirage et rouge au deuxième et aussi au troisième

Au premier tirage dans l'urne 1, on a 5/10 de tirer un rouge.
Un fois ce rouge tiré, on le met dans l'urne n°2 donc on a 4/10 de tirer un rouge.
Une fois ce rouge tiré, on le met dans l'urne n°3 donc on a 4/10 de tirer un rouge.

Comme vous avez dit, on a pas d'indépendance ici donc je ne vois pas comment les relier entre elles, j'aurais intuitivement fait 5/10*4/10*4/10

[Ben314]

j'ai vraiment du mal avec ce genre d'exercices !

p(R1 et R2 et R3)= le jeton tiré est rouge au premier tirage et rouge au deuxième et aussi au troisième

Au premier tirage dans l'urne 1, on a 5/10 de tirer un rouge.
Un fois ce rouge tiré, on le met dans l'urne n°2 donc on a 4/10 de tirer un rouge.
Une fois ce rouge tiré, on le met dans l'urne n°3 donc on a 4/10 de tirer un rouge.

Comme vous avez dit, on a pas d'indépendance ici donc je ne vois pas comment les relier entre elles, j'aurais intuitivement fait 5/10*4/10*4/10

Oui, là, c'est parfaitement ça et ce qu'il faut bien comprendre, c'est que les deux 4/10 ne sont pas les proba d'avoir rouge au deuxième et au troisième tirage : ce sont les proba conditionelles d'avoir rouge sachant qu'on avait déjà rouge le coup d'avant.

Donc en fait, sans t'en rendre compte (je pense), tu as utilisé le fait que :

qui, ici te donne :


En fait, toute "l'astuce" de l'exercice, c'est que les p(Rk) et autres p(Bk), tu les connais pas franchement, mais par contre tu connait parfaitement les p(R{k+1} sachant Rk) et autres p(B{k+1} sachant Nk)...

[pluie2]

d'accord c'est plus clair comment vous l'ecrivez

donc c) Déterminer la probabilité que les trois jetons tirés soient de la même couleur

Donc p(R1 et R2 et R3) ou p(N1 et N2 et N3) ou p(B1 et B2 et B3) = (5/10*4/10*4/10) + (3/10*4/10*4/10) + (2/10*4/10 *4/10)

[Ben314]

d'accord c'est plus clair comment vous l'ecrivez

donc c) Déterminer la probabilité que les trois jetons tirés soient de la même couleur

Donc p(R1 et R2 et R3) ou p(N1 et N2 et N3) ou p(B1 et B2 et B3) = (5/10*4/10*4/10) + (3/10*4/10*4/10) + (2/10*4/10 *4/10)

oui, c'est ça (on peut ajouter vu que les cas sont clairement disjoints : on ne peut pas tirer trois rouges et en même temps tirer trous noires !!!)

[pluie2]

ok

d) Calculer la probabilité que l'urne n°1 ait la même composition au début et à la fin des trois tirages (et remises)

celle la me semble plus compliquée...
si l'urne n°1 a la même composition au début et à la fin alors :
- Elle contient 2 jetons blancs, 3 noirs et 5 rouges.

Si le tirage se fait d'abord dans l'urne 1 alors :
- Si on tire 1 rouge, on le met dans l'urne 2. Donc le deuxième tirage se fait dans l'urne 2, si on tire un rouge on le met dans l'urne n°3 et si on tire un rouge on le remet dans l'urne n°1. Pareil pour les autres couleurs de jetons.

je trouve la même réponse que c) c'est très improbable à mon avis

[Ben314]

ok

d) Calculer la probabilité que l'urne n°1 ait la même composition au début et à la fin des trois tirages (et remises)

celle la me semble plus compliquée...
si l'urne n°1 a la même composition au début et à la fin alors :
- Elle contient 2 jetons blancs, 3 noirs et 5 rouges.

Si le tirage se fait d'abord dans l'urne 1 alors :
- Si on tire 1 rouge, on le met dans l'urne 2. Donc le deuxième tirage se fait dans l'urne 2, si on tire un rouge on le met dans l'urne n°3 et si on tire un rouge on le remet dans l'urne n°1. Pareil pour les autres couleurs de jetons.

je trouve la même réponse que c) c'est très improbable à mon avis

Non, c'est bien ça : pour que les urnes contiennent la même chose à l'arivé qu'au départ, ben il faut que le jeton tiré soit de la même couleur que celui ajouté, c'est à dire que celui tiré au dernier coup.
En fait, ça signifie que... que tout lesjetons tirés doivent être de la même couleur...

[pluie2]

ok
3. On revient au cas général.
a) Montrer que pour tout k de {1,2...,n-1}, p(Rk+1)=1/10p(Rk)+3/10. En déduire la valeur de P(Rk) pour tout k de {1,2...,n}

p(Rk+1) est la probabilité d'obtenir un jeton rouge au k+1ème tirage.

j'hésite à utiliser les probas conditionnelles ou à écrire que p(Rk+1)=p(Rk)+p(Rn)

[Ben314]

... p(Rk+1)=p(Rk)+p(Rn)

??? qu'est ce que vient faire la proba de tirer rouge au dernier tirage dans la proba de tirer rouge au k+1 ième ???

Tu ne connait QU'UN SEUL TRUC (pour le moment) : c'est les probas conditionelles concernant le résultat du k+1 ième tirage "sachant que" tu connais le résultat du k-ième donc tu risque pas de te servir d'autre chose...
ça va te permettre d'exprimer p(R_k+1) en fonction p(Rk), p(Nk) et p(Bk) sauf qu'en utilisant le fait que ces 3 probas ont une somme égale à 1, ca te permet d'exprimer le truc en fonction de p(Rk) uniquement (c'est la formule de mandée)

Aprés, c'est une suite arithmético-gépométrique et c'est du "standard".

[pluie2]

P(Rk+1 sachant Rk)=4/10
P(Rk+1 sachant Bk)=P(Rk+1 sachant Bk)= 3/10

or p(Rk)+p(Bk)+p(Nk)=1 donc p(Rk)=1-(p(Bk)+p(Nk))
j'hésite à écrire la formule des probas conditionnelles afin d'exprimer p(Rk+1/Rk) en fonction de Rk

j'ai du mal avec cette derniere partie

[pluie2]

a) Montrer que pour tout k de {1,2...,n-1}, p(Rk+1)=1/10p(Rk)+3/10. En déduire la valeur de P(Rk) pour tout k de {1,2...,n}

Pouvez vous me donner une autre indication que celle des probas conditionnelles...je bloque sur cette question...je ne sais pas quoi écrire d'autre que :
P(Rk+1 sachant Rk)=4/10
P(Rk+1 sachant Bk)=P(Rk+1 sachant Bk)= 3/10

or p(Rk)+p(Bk)+p(Nk)=1 donc p(Rk)=1-(p(Bk)+p(Nk))

[Ben314]

(c'est la "formule des proba. totales")

[pluie2]

ok pour la formule. J'ai juste comme données :

Déterminer p(Rk+1/Rk)
c) Déterminer P(Rk+1/Nk) et p(Rk+1/Bk) d'après l'énoncé de la partie I sauf que les résultats que j'avais donné n'étaient pas bons. Il me semble que vous les aviez corrigés ? je ne les retrouve pas