Probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

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probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 11 Mai 2020, 23:27

Bonjour

Voici mon problême:

Il ya deux parallélépipède losanges quelquonques dans espace 3D.
Ils n'ont pas les même proportions.
Comment déformer l'espace 3D de façon a ce que les deux parallélépipède obtiennent les mêmes proportions?

Image

Je me demande si ce problème a déjà été posé et s'il existe une méthode pour le résoudre.

Merci
Modifié en dernier par lazare le 12 Mai 2020, 01:21, modifié 2 fois.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 12 Mai 2020, 00:11

Pourquoi parles-tu de plan alors que tes deux bazars sont dans un espace de dimension 3 ?

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 12 Mai 2020, 01:20

GaBuZoMeu a écrit:Pourquoi parles-tu de plan alors que tes deux bazars sont dans un espace de dimension 3 ?


C'est corrigé
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par tournesol » 13 Mai 2020, 09:11

Poses d'abord ton pb dans le plan avec deux losanges , ou deux parallélogrames .

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 26 Mai 2020, 16:41

tournesol a écrit:Poses d'abord ton pb dans le plan avec deux losanges , ou deux parallélogrames .


Ok. Donc, voici la premiere partie de mon probleme reporté au plan:

Comment déformer le plan pour que les parallelogrames rouge et bleu obtiennent les meme proportions ?

Image
Modifié en dernier par lazare le 26 Mai 2020, 17:03, modifié 1 fois.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 26 Mai 2020, 16:58

Bonjour,

Quand on voit "V3" à côté d'un segment coté avec un double trait un "2V3/2" à côté d'un autre segment coté avec deux traits, un rectangle avec un grand côté indiqué "2/3" et un petit côté indiqué "(2/3)V2", on est assez perplexe.

Peux-tu faire un schéma propre, avec les sommets des polygones indiqués par des lettres et le longueurs des segments donnés de façon claire à côté, dans le texte ?

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 26 Mai 2020, 17:05

GaBuZoMeu a écrit:Quand on voit "V3" à côté d'un segment coté avec un double trait un "2V3/2" à côté d'un autre segment coté avec deux traits, un rectangle avec un grand côté indiqué "2/3" et un petit côté indiqué "(2/3)V2", on est assez perplexe.?


Je vien de corriger ça, pardon.
Ok je travaille sur un shema plus clair.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 26 Mai 2020, 17:44

Image

a=1
b=V3
c=2/3V2
d=2/3
e=V6
f=V2

Le but étant de déformer le plan de façon à ce que a/b=c/d
et que pour les angles A=C et B=D
Modifié en dernier par lazare le 26 Mai 2020, 18:51, modifié 1 fois.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 26 Mai 2020, 18:39

e=2((V3)/2)

Donc e=1 ?

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 26 Mai 2020, 18:51

GaBuZoMeu a écrit:e=2((V3)/2)

Donc e=1 ?

e=V6 pardon
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 26 Mai 2020, 19:33

La matrice de la partie linéaire de la transformation affine qui envoie rectangle bleu sur parallélogramme rouge (sommet inférieur gauche sur sommet inférieur droit, sommet inférieur droit sur sommet supérieur droit) a deux valeurs propres complexes conjuguées. Elle est donc bien semblable à une matrice de similitude. Par conséquent, il est possible de déformer le plan par une transformation affine de sorte que le parallélogramme rouge déformé soit l'image du rectangle bleu déformé par une similitude directe (de rapport et d'angle .

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 26 Mai 2020, 19:41

Merci beaucoup pour ta réponse.

Est ce que tu pourais détailler ta méthode?
(je suis niveau bac S)
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 27 Mai 2020, 01:09

J'ai résolu le probleme manuellement pour cette face.
Mais en fait je crois que je me suis trompé dans le choix des faces.
C'est tres compliqué, j'ai l'impression qu'il faut remuer toute les faces en meme temps.
Franchement je ne sais pas par ou prendre ce probleme.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 27 Mai 2020, 08:26

Je peux détailler. Mais je crains que la façon dont je procède te passe au-dessus de la tête. Elle fait appel à la notion de changement de base pour une matrice d'application linéaire. Ça te dit quelque chose ?

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 27 Mai 2020, 15:07

Non, ça me dit pas grand chose, mais si tu me donne une petite définition des termes ou des mots clé pour chercher des tutos pour comprendre ça me va.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 27 Mai 2020, 18:25

On prend comme base les vecteurs donnés par les côtés du rectangle* (le grand côté de gauche à droite, le petit côté de bas en haut).
Dans cette base, les vecteurs donnés par les côtés du parallélogramme (grand côté vers le haut et la droite, petit côté vers la gauche) on pour coordonnées (3/2, 3) et (-3/2,0) respectivement. La matrice de passage a pour valeurs propres . Elle est donc semblable à la matrice , qui est la matrice de la similitude de rapport et d'angle dans une base orthonormée.
Il reste à identifier la base de vecteurs dans laquelle la matrice de passage du rectangle bleu au parallélogramme rouge est cette matrice de similitude, et à transformer cette base de vecteurs en une base orthonormée du plan. Calculs pas trop durs, mais un peu casse-pieds.
* lapsus corrigé
Modifié en dernier par GaBuZoMeu le 29 Mai 2020, 00:19, modifié 2 fois.

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 28 Mai 2020, 00:42

Voila les calculs faits, et ce que ça donne :
Image
Image

Et si vous voulez voir l'applet GeoGebra, c'est ici.

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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 28 Mai 2020, 04:24

GaBuZoMeu a écrit:Voila les calculs faits, et ce que ça donne :

C'est bien le résultat que j'ai trouvé manuellement. Mais en fait comme j'ai mal choisis la face qui sert a résoudre mon problème ça ne m'avance pas dans mon shmilblik.
Après avoir bien observé mes parallélépipèdes losange, j'en conclue qu'on ne peu pas résoudre le problème plan par plan.
Votre méthode peut elle directement s'appliquer a un problème 3D?
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par lazare » 28 Mai 2020, 04:30

GaBuZoMeu a écrit:On prend comme base les vecteurs donnés par les côtés du triangle (le grand côté de gauche à droite, le petit côté de bas en haut).


Je ne sais pas de quel triangle tu parles, le petit et grand coté d'un des parraléllograme? un coté de l'un et un coté de l'autre ou les deux ?

Je vais faire des recherches pour essayer de comprendre ce qu'est une matrice de passage et une matrice de similitude.
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Re: probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

par GaBuZoMeu » 28 Mai 2020, 10:18

Oui, j'ai corrigé le lapsus : parallélogramme et pas triangle, bien sûr.
Une similitude (directe), c'est une transformation qui conserve les formes : un déplacement composé avec une homothétie.
Deux matrices semblables c'est deux matrices d'une même transformation linéaire dans des bases différentes.
Pour une matrice 2x2, ce n'est pas compliqué d'être semblable à une matrice de similitude dans une base orthonormée : il suffit que le discriminant de son polynôme caractéristique soit négatif.
Pour une matrice 3x3, par contre, c'est beaucoup plus rare, ça n'arrive pour ainsi dire jamais. Tes deux parallélépipèdes losanges sont vraiment quelconques, disposés n'importe comment ? Sinon, peux-tu mieux spécifier ton problème ?

 

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