Probleme de géométrie avec des paralelepipedes losanges

[GaBuZoMeu]

Pourquoi parles-tu de plan alors que tes deux bazars sont dans un espace de dimension 3 ?

[tournesol]

Poses d'abord ton pb dans le plan avec deux losanges , ou deux parallélogrames .

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Quand on voit "V3" à côté d'un segment coté avec un double trait un "2V3/2" à côté d'un autre segment coté avec deux traits, un rectangle avec un grand côté indiqué "2/3" et un petit côté indiqué "(2/3)V2", on est assez perplexe.

Peux-tu faire un schéma propre, avec les sommets des polygones indiqués par des lettres et le longueurs des segments donnés de façon claire à côté, dans le texte ?

[GaBuZoMeu]

e=2((V3)/2)

Donc e=1 ?

[GaBuZoMeu]

La matrice de la partie linéaire de la transformation affine qui envoie rectangle bleu sur parallélogramme rouge (sommet inférieur gauche sur sommet inférieur droit, sommet inférieur droit sur sommet supérieur droit) a deux valeurs propres complexes conjuguées. Elle est donc bien semblable à une matrice de similitude. Par conséquent, il est possible de déformer le plan par une transformation affine de sorte que le parallélogramme rouge déformé soit l'image du rectangle bleu déformé par une similitude directe (de rapport et d'angle .

[GaBuZoMeu]

Je peux détailler. Mais je crains que la façon dont je procède te passe au-dessus de la tête. Elle fait appel à la notion de changement de base pour une matrice d'application linéaire. Ça te dit quelque chose ?

[GaBuZoMeu]

On prend comme base les vecteurs donnés par les côtés du rectangle* (le grand côté de gauche à droite, le petit côté de bas en haut).
Dans cette base, les vecteurs donnés par les côtés du parallélogramme (grand côté vers le haut et la droite, petit côté vers la gauche) on pour coordonnées (3/2, 3) et (-3/2,0) respectivement. La matrice de passage a pour valeurs propres . Elle est donc semblable à la matrice , qui est la matrice de la similitude de rapport et d'angle dans une base orthonormée.
Il reste à identifier la base de vecteurs dans laquelle la matrice de passage du rectangle bleu au parallélogramme rouge est cette matrice de similitude, et à transformer cette base de vecteurs en une base orthonormée du plan. Calculs pas trop durs, mais un peu casse-pieds.
* lapsus corrigé

[GaBuZoMeu]

Voila les calculs faits, et ce que ça donne :



Et si vous voulez voir l'applet GeoGebra, c'est ici.

[GaBuZoMeu]

Oui, j'ai corrigé le lapsus : parallélogramme et pas triangle, bien sûr.
Une similitude (directe), c'est une transformation qui conserve les formes : un déplacement composé avec une homothétie.
Deux matrices semblables c'est deux matrices d'une même transformation linéaire dans des bases différentes.
Pour une matrice 2x2, ce n'est pas compliqué d'être semblable à une matrice de similitude dans une base orthonormée : il suffit que le discriminant de son polynôme caractéristique soit négatif.
Pour une matrice 3x3, par contre, c'est beaucoup plus rare, ça n'arrive pour ainsi dire jamais. Tes deux parallélépipèdes losanges sont vraiment quelconques, disposés n'importe comment ? Sinon, peux-tu mieux spécifier ton problème ?

[GaBuZoMeu]

Décidément, je voulais en fait écrire rectangle. J'ai corrigé.

Tes coordonnées pour le cube ne vont pas. le milieu de io, avec les coordonnées que tu donnes, est . Le milieu de jp, lui, est . Il y a peut-être d'autres erreurs, je n'ai pas tout vérifié.

[GaBuZoMeu]

Bien sûr, mais si on part de deux parallélépipèdes au hasard il n'y a aucune chance pour que ça marche.
Reste à voir pour ton cas particulier. J'avoue que j'ai un peu la flemme de faire les calculs. La constatation de l'erreur dans les coordonnées des sommets du cube m'a aussi un peu refroidi.

[GaBuZoMeu]

J'ai plutot tendance a penser l'inverse.

Eh bien tu as tort. Se donner un parallélépipède quelconque revient à se donner une base quelconque. Et la matrice de passage d'une base quelconque à une base quelconque, c'est une matrice inversible quelconque, qui n'a aucune chance en dimension 3 d'être semblable à une matrice de similitude.

[GaBuZoMeu]

Comment tu passe de la matrice de passage a la valeur propre?

En calculant les racines du polynôme caractéristique.

[fatal_error]

c'est un peu con comme approche mais on sait jamais

SI ton but c'est pas de déformer l'espace mais d'animer la transition

Soit P1 et P2 tes deux parallèlépipèdes
tu peux faire un mapping point à point M_i: (P1_i, P2_i) pour i = 0 à 7

puis quand tu définis tes n steps. (le nombre de frames pour transformer P1 en P2)
Pour chaque t = 0 à n-1
Tu calcules le parallèlépipède temporaire Pt
via Pt_i: (M_i[1] - M_i[0]) / n * t + M_i[0]

[GaBuZoMeu]

Le polynôme caractéristique (un seul r) de (carrée de taille ) est le déterminant de .
J'utilise les outils d'algèbre linéaire classiques des premières années du supérieur.

[GaBuZoMeu]

Il y a aussi les racines .
Comme les racines ne sont pas toutes les trois de même module, il est impossible de trouver une transformation linéaire qui rende les deux parallélépipèdes semblables par une similitude envoyant l'image de sur celle de , l'image de sur celle de , l'image de sur celle de et l'image de sur celle de . Mais ce n'est pas la seule possibilité. Il faut essayer les autres (les six permutations des colonnes de la matrice de passage, avec changements de signe adéquats pour avoir toujours des bases de même orientation).
Par ailleurs, comment faire confiance à tes calculs ? Tu nous dis que . Ça a l'air plausible sur ton dessin. Mais avec les coordonnées (corrigées) que tu nous donnes, on a et . Que croire ?

[GaBuZoMeu]

En résolvant une équation du second degré.

[GaBuZoMeu]

Tu as un polynôme de degré 3, dont tu connais une racine . Tu divises ton polynôme de degré 3 par et tu trouves un polynôme de degré 2. Dois-je t'expliquer comment on fait pour trouver les racines d'un polynôme de degré 2 ?

[GaBuZoMeu]

Bon, ce fil a beaucoup duré.

Si j'ai bien compris :
On a le cube de sommets , dans le parallélépipède ayant pour sommet et engendré par les vecteurs .
La question est de savoir s'il existe une transformation linéaire directe de l'espace telle que l'image du cube par cette transformation ait même forme que l'image du parallélépipède par celle-ci. Autrement dit, telle qu'il existe une similitude directe qui envoie sur , ce qui revient à dire que envoie sur . Il y a 24 transformations linéaires directes qui envoient sur : on en choisit une et on la compose avec une des 24 rotations du cube . La question est donc de savoir si une de ces 24 matrices de transformations directes amenant sur est semblable à une matrice de similitude directe. Une matrice de similitude directe dans une b.o.n. bien choisie est de la forme



et a pour polynôme caractéristique



Avec ça, on a tous les éléments pour mener les calculs qui aboutissent à la réponse négative :
Il n'y a aucune transformation linéaire directe de l'espace telle que ait la même forme que .
Je détaillerai dans un prochain message.

[GaBuZoMeu]

Comme promis, je reviens sur le détail des calculs. Je les ai faits avec SageMath.

On commence par faire la liste des transformations linéaires directes qui amènent le cube C sur le parallélipipède P. Je m'autorise une petite homothétie de rapport 2/3 sur le parallélépipède (vu que les homothéties commutant avec toutes les transformations linéaires, ça n'a pas de conséquence sur notre problème). J'écris une matrice M qui envoie C sur 2/3*P :

Code: Tout sélectionner

M=matrix(ZZ,[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]) ; M

Code: Tout sélectionner

[1 0 1]
[1 1 0]
[0 1 1]

Ensuite, j'engendre les 24 matrices de rotation du cube. C'est un peu du bricolage pour m'éviter de les rentrer toutes à la main. J'écris le groupe des rotations comme engendré par les deux matrices A,B ci-dessous, et je vérifie que je récupère bien mes 24 rotations.

Code: Tout sélectionner

G=SL(3,ZZ) ; A,B,C=SL(3,ZZ).gens()
A,B

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(
[0 1 0]  [ 0  1  0]
[0 0 1]  [-1  0  0]
[1 0 0], [ 0  0  1]
)

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H=G.subgroup([A,B]) ; H.cardinality()

Code: Tout sélectionner

24

Maintenant je calcule les 24 polynômes caractéristiques des 24 matrices M*R pour R matrice de rotation du cube. Le polynôme caractéristique est invariant par changement de base, et le polynôme caractéristique d'une matrice de similitude vérifie (voir la forme donnée plus haut). Il ne reste plus qu'à vérifier qu'aucun des 24 polynômes caractéristiques calculés ne satisfait cette équation.

Code: Tout sélectionner

LPC=[(M*R).characteristic_polynomial() for R in H]
any(P[0]*P[2]^3-P[1]^3==0 for P in LPC)

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False

Voila, c'est terminé.

On peut prolonger l'histoire en gardant le cube et en changeant le parallélogramme selon un paramètre r et en voyant s'il y a une valeur de r pour laquelle on obtient une réponse positive. Je ne sais pas ce que ça donne. Mais avec le code SageMath déjà écrit, ça ne sera pas trop difficile à voir. À suivre ...