Probleme avec racine nieme de l'unité

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forhekset
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probleme avec racine nieme de l'unité

par forhekset » 09 Oct 2005, 18:47

Soit z= (1+2ik)/(1-2ik), k un entier
Il faut montrer que z n'est pas une racine nieme de l'unité

Pour le montrer, j'ai fait un raisonnement par l'absurde donc jai supposé que z etait une racine niem de l'unité

de la, jai deduit la relation (1+2ik)^n =(1-2ik)^n
Mais après je suis bloqué, je ne vois plus quoi faire

Si vous avez une ptite idée , merci de m'aider ! :we:



kaya
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par kaya » 09 Oct 2005, 19:56

on est dans donc si (1+2ik)=(1-2ik) on doit avoir
2ik=-2ik tu as ta contradiction pour (sinon c'est moi qui ne comprends rien)

forhekset
Membre Naturel
Messages: 36
Enregistré le: 07 Sep 2005, 15:46

par forhekset » 09 Oct 2005, 20:22

oui mais on a pas (1+2ik)=(1-2ik) ! on a (1+2ik)^n=(1-2ik)^n
donc ce que tu dis n'est pas bon
j'ai oublié de le dire, mais je sais qu'on doit arriver a un moment a la conclusion que 1+4k² divise 2^m * k² (m un reel ) et qu'il ya semble t'il besoin des modules pour y arriver ( en effet , 1- 2ik est le conjugué de 1+2ik et on sait z*z(barre)= mod(z)² soit ici, mod(z)²=1+4k²)

LN1
Membre Relatif
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Enregistré le: 23 Sep 2005, 20:14

par LN1 » 11 Oct 2005, 10:15

Bonjour,

j'ai bien une solution mais qui utilise un argument plus simple que celui que tu indiques. Il est possible que je me trompe mais ne vois pas la faille:

Je continue sur ton idée signifie que est réel (c'est toujours le cas quand un complexe est égal à son conjugué
Cela signie que sa partie imaginaire est nulle
Cela signifie que

Soit encore(en divisant par 2ik)


on remarque que,si k est non nul, pour être nulle cette somme doit comporter au moins deux termes donc que n est supérieur ou égal à 3

D'autre part on sait que


En faisant la différence des deux égalités


le terme pour p = 1 est nul,donc


Or, dans on peut mettre en facteur (identité remarquable)
donc est divisible par
donc est divisible par
impossible pour k non nul

donc égalité de départ impossible

 

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