II)Approximation des dérivées successives par des différences finies
1)On considere une fonction f de classe C1 sur un segment I de R et à valeurs réelles et x un point de I qui n'est pas une extremité de I
(a) Montrer que lim(h->0) f(x+h)-f(x-h) / 2h = f'(x)
Donner une interprétation géométrique du résultat
(b)On décide alors, pour h>0 assez petit ( ie que le segment [x-h;x+h] soit inclus dans I ) de remplacer la quantité f'(x) par la différence finie DF1(x,h) = f(x+h)-f(x-h) / 2h . On suppose de plus que f est de classe C3 sur I.
Après avoir justifier l'existence du réel M = max{|f'''(t)|tappartenant à I},
montrer que |DF1(x,h)-f'(x)|
2)On considere desormais une fonction f de classe C2 sur un segment I de R et à valeurs réelles et x un point de I qui n'est pas une extremité de I.
(a) Calculer lim(h->0) f(x+h)-2f(x)+f(x-h) / h²
(b)Pour h>0 suffisamment petit dans le meme sens qu'a la question 1)(b), en déduire une valeur approchée DF2(x,h) de f''(x) et, en supposant que f est de classe C4 sur I, proposer une majoration de l'erreur |DF2(x,h)-f''(x)| que l'on démontrera.
Merci d'avance.