Sophie: problème analyse master 1

par **sophiedu13** » 18 Déc 2006, 22:07

Bonsoir ,
Je mappelle Sophie et suis en 1ere année de master. On ma donné un devoir à faire il y a une semaine et je dois le rendre vendredi 22/12/06 au plus tard ; le problème est quen analyse fonctionnelle jai de grosses difficultés. Je nai donc que très peu avancé. Si quelquun peut me donner ses idées sur le sujet ce serait vraiment sympa de sa part car nous ne sommes que 5 à avoir cette matière et personne ne trouve. Voici lénoncé :

Limites de Banach
.On note l inf (N,R) lespace des suites bornées, à valeurs réelles. Pour une suite x l inf, on note X= (Xn) nN et //X// inf = sup{/Xn/ /nN}.
Soit F= {X l inf / sup (n>=0) de la somme de k=0 jusquà n de /Xk/
1- Soit e=(en)nN la suite constante en=1, pour tout nN
Montrer que pour tout XF , //X-e//inf >=1

2- En déduire une forme linéaire T appartenant au dual de l inf telle que T(X)=0 , pour tout XF , T(e)=1 et //T//=1.
Une telle forme linéaire , appelée limite de Banach, sera notée T(X)=LIM(n tend vers inf) Xn

3-Montrer que toute suite tendant vers 0 se trouve dans ladhérence de F. En déduire que si X=(Xn) est une suite convergente, T(X)=lim(n tend vers inf) Xn. (Si Xn tend vers j calculer lim(n tend vers inf) (Xn-j.en).

4-Montrer quil nexiste aucune suite Y=(Yn)n telle que la somme pour n>=0 des /Yn/ < inf et lim(n tend vers inf)(Yn)= somme sur n de Xn.Yn , pout tout Xl inf

Voila, vous pouvez constater que ce nest pas très facile , mais je vous remercie davoir porté intérêt à ma question. Merci davance pour vos idées quelles quelles soient.

Ps: je suis nouvelle sur le forum et je n'ai pas le temps ce soir de chercher l'écriture mathématique , je ne sais pas comment on fait . merci d'avance et bonne soirée.

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 22:17

j'ai du mal à lire l énoncé (je ne saurais te blamer pur les écritures mathématiques) si tu veux bien je vais changer les notations trop lourdes à manipuler

ton l inf (N,R) = ensemble des suites réelles bornées je le note B,
la norme uniquement // // ,
F si je comprends bien c'est la partie de B telle que la série converge absolument ?

peux tu confirmer ?

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 22:19

1)pour X dans F Xn tend vers 0 la série convergeant le terme général tend vers 0

donc I Xn -1 I tend vers 1 en + infini donc le sup est supérieur ou égal à 1

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 22:36

pour le 2 on utilise le théorème de Hahn Banach ce qui me gène bcp compte tenu de la question 3
hahn banach est il un théorème que tu connais ?

par **sophiedu13** » 18 Déc 2006, 22:57

en effet pour F il s'agit bien de l'absolue convergence.
sinon j'ai effectivement vu hahn banach mais j'ai beaucoup de mal a me familiarisé avec. Je vais essayer avec tes conseils .merci

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 23:07

pour la 2) [ en fait on fait une partie de 3) aussi]

considérons G l ensemble des suites qui cv G est un sev ds B et f G ->R
avec f(X) = lim Xn
f est une forme linéaire et il est facile de voir que If(x) l =< sup Ixn I = // X//
(travailler avec epsilon de sécurité et écrire la déf de la limite pour l Xl )
d 'après hahn banach il existe T qui prolonge f à toutB
avec l T(X) l =< //X// pour tout X ds B; la norme de T est donc inférieure à 1; et 1 est atteint pour la suite e donc norme de T = 1
et de plus pour X ds F :f(X) = 0 = T(X)

par **sophiedu13** » 18 Déc 2006, 23:32

c sympa a toi de m'éclaircir la voie je v le rediger de maniere correcte en completant un peu et apres dodo. merci beaucoup et peut etre a demain

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 00:33

3) soit X = ( xn ) de limite nulle
on montre que toute boule (fermée)de centre X de rayon r >0 rencontre F:
il existe N0 tel que pour n>N0 lxnl < r
on définit U = (un) par un = 0 si n=U+X nulle à partir du rang N0 donc U+X dans F et //U+X-X// =
donc U+X est bien ds la boule et ds F ce qui prouve que X est ds l'adhérence de F

Le reste a été traité en 2)

4) si je lis bien lénoncé la suite Y nulle conviendrait....

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 00:33

3) soit X = ( xn ) de limite nulle
on montre que toute boule (fermée)de centre X de rayon r >0 rencontre F:
il existe N0 tel que pour n>N0 lxnl < r
on définit U = (un) par un = 0 si n=U+X nulle à partir du rang N0 donc U+X dans F et //U+X-X// =
donc U+X est bien ds la boule et ds F ce qui prouve que X est ds l'adhérence de F

Le reste a été traité en 2)

4) si je lis bien lénoncé la suite Y nulle conviendrait....

par **sophiedu13** » 19 Déc 2006, 12:43

au contraire moi je ne trouve pas le critère de non existence d'une telle suite Yn

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 13:56

ton énoncé ne doit pas être celui là ; car la suite nulle conviendrait .

"lim 0 = somme 0 "

par **sophiedu13** » 19 Déc 2006, 14:36

oui effectivement je ne risquais pas de trouver

Montrer quil nexiste aucune suite Y=(Yn)n telle que la somme pour n>=0 des /Yn/ < inf et lim(n tend vers inf)(Xn)= somme sur n de Xn.Yn , pout tout Xl inf

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 14:39

si c 'est pour tout X de B ( ton Linf) ça pose problème car les éléments de B ne sont que bornés et n'ont a priori pas de limite

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 14:40

ou alors c est pas lim mais LIM ( ta forme linéaire T)

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 14:48

ce qui ne peut être que ça en fait

supposons qu un tel y existe

alors pour tout X ayant une limite nulle ona

0 = sigma (n= 0 ,infini ) de xnyn

fixons no qq et prenons la suite X ainsi
Xn = 0 si n différent de no et Xn0 = 1

X a bien un elimite nulle et on a donc Yn0 = 0

la seule suite possible est donc la suite nulle

mais pour X = e

LIM e = 1 = lim e différent de sigma (n= 0,infini) de1.0
Y n existe pas .

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 14:50

ce qui est le résultat suivant la forme linéaire continue T n 'est pas représentée par un produit scalaire avec un élément Y
(contre exemple ds cet espace de suites au théorème de représentation de riesz)

par **sophiedu13** » 19 Déc 2006, 15:16

oui c'est bien LIM mais quelle est la différence?
Sinon ton raisonnement est sensé , franchement bravo. à 5 en une semaine on en avait pas trouvé la moitié .

par **fahr451** » 19 Déc 2006, 15:28

la limite ( au sens classique ) n existe que pour les suites qui ont une limite
( sic) ,
qui convergent donc (les suites étant bornées la limite ne peut être que réelle)

l 'application lim qui à X ( X ayant une limite classique) associe sa limite est une forme linéaire continue ; la norme valant 1

D ' après le théorème d hahn banach on peut PROLONGER cette forme à tout l espace en une forme notée T ou LIM la norme valant encore un.

donc pour les suites ayant une limite, lim ou LIM c est pareil
mais pour celles qui n 'ont pas de limite classique lim n existe pas
mais LIM oui!

par **sophiedu13** » 19 Déc 2006, 16:27

grand merci pour ces explications

Sophie: problème analyse master 1

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