Problème dans concours IESSA 2007 (analyse, Bac + 2)

[Yvon]

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur les annales des concours de l'IESSAC (pour l'ENAC : Ecole Nationale de l'Aviation Civile), qui est au niveau Bac + 2.
Jusqu'à présent je n'ai eu aucun problème particulier mais je viens d'entamer l'épreuve de 2007 et je bloque dès le début.
Je ne sais pas si ça vient de moi ou du sujet mais j'en trouve la difficulté bien au-dessus des autres.

J'ai donc deux questions :

1) Quelqu'un du forum aurait-il un avis sur la difficulté de ce sujet (plus exactement de la série des 13 premières questions, les autres étant d'une difficulté classique)
2) Quelqu'un pourrait-il me donner une piste pour la question D ? J'ai réussi les trois autres, même si ça me paraît trop long et trop difficile dans le cadre d'un concours (4 heures pour 40 questions), mais je bloque sur celle-ci.

Le texte du concours étant disponible sur internet, je me permets d'en reproduire le tout début :



Merci d'avance

Yvon

[busard_des_roseaux]

salut,


L(a) verifie:

d'où en passant au log:


L(a) est point fixe de
si x vérifie > x alors

ln(a) vérifie pour a assez grand
d'où
pour a assez grand
d'où

[Yvon]

Merci pour cette suggestion, que j'avais eu le temps de lire avant d'aller travailler… il y avait un petit problème, sans doute dans la dérivation, ce qui fait que malheureusement on n'aboutissait pas à une solution aussi simple. J'avais moi aussi essayé de dériver, on aboutit à une équation différentielle insoluble qui n'aide pas à avancer. :mur:

[busard_des_roseaux]

Yvon,
relis mon post, j'ai trouvé une autre méthode.

[busard_des_roseaux]

Je m'étais dit que si l(a) tendait vers l'infini ....on trouverait donc l'équivalence demandée… à condition de supposer que la limite de l(a) est bien l'infini, ce que je n'ai pas réussi à démontrer.

Yvon

merçi pour cette remarque:

la fonction est croissante.
Deux cas seulement sont possibles:

ou
pour a assez grand.

Il existe donc a > 0 tel que M < L(a). Ce qui est impossible d'après la définition
de M comme borne supérieure des L(a).

conclusion:

[Yvon]

La vache ! Quel œil d'aigle ce busard !

Merci et bravo…

Quand je pense que j'avais bien démontré que, pour a assez grand, l(a) était supérieur à 1 et que je n'ai pas pensé que ça marchait pour autre chose que 1… :marteau:

Et, rions un peu, voici le début de la partie 3… évidemment, là je ne cherche pas d'aide, sauf éventuellement pour comprendre la coexistence de ces deux niveaux dans un même texte…