Analyse combinatoire, problème d'ascenceur

par **marcmeimoun** » 26 Juil 2007, 17:35

Bonjour à tous,

10 personnes montent dans un ascenceur qui déssert 5 étages.
A la fin de sa course, tout le monde est descendu.
Combien de disposition y a t il ?

Vous remerciant par avance.

par **nuage** » 26 Juil 2007, 19:18

Salut,
En fait le problème est ambigu : il faut savoir si on distingue les personnes ou non.
Si on les distingue il y a

possibilités (on affecte un étage à chaque personne)
Si on ne les distingue pas c'est un peu plus compliqué...

par **nuage** » 26 Juil 2007, 19:32

mais pas tant que ça :
on code les personnes par des o et les intervalles entre les étages par des i.
Par exemple si 3 personnes descendent au 1°, 5 au 2° et 2 au 5° on code
oooioooooiiioo

il est alors facile de voir qu'il y a

possibilités.
Sauf erreur de ma part (et il est souhaitable de bien vérifier ce qui précède).

par **flight** » 27 Juil 2007, 08:55

salut , pour le 1 iere prsonne : 5 possibilités d'étages
pour la seconde , 5 possibilités d'etages aussi ,...etc

soit 5.5.5.5....5 ( 10 fois , car 10 personnes) soit 5^10 possibilités au total .

a+

par **mariounette** » 28 Juil 2007, 17:21

J'ai réfléchi au problème parce qu'il est intéressant mais je ne suis absolument pas sure de ma réponse....

Nous avons 5 étages et 10 personnes. A la fin de sa course tout le monde est descendu.
J'appelle par "ki" le nombre de personnes qui descendent à l'étage i.
Je suppose que les 10 personnes prennent l'ascenseur au rez de chaussez.

Au premier étage j'ai 11 choix possibles pour k1. J'ai le choix qu'aucune personne ne descende, qu'il y en est 1,2,...,10 : 0=< k1<=10.

Au iéme étage j'ai 10-(K1+k2+...+k(i-1))+1 choix possibles.

Au 5ième tout est déterminé puisque tout le monde doit être descendu à la fin de la course de l'ascenseur donc au 5 ième étage je n'ai qu'un seul choix, celui de faire descendre les personnes restantes.

Pour un choix de (k1,k2,k3) donné j'ai 10-(K1+k2+k3)+1 choix possibles pour k4.

Or pour un choix de (k1,k2) donné j'ai 10-(K1+k2)+1 choix possibles pour k3.
Si je somme le terme 10-(K1+k2+k3)+1 en faisant varier k3 de 0 à 10-(k1+k2)
j'obtiens le nombre de dispositions possibles pour les étages 3 et 4 pour un choix donné de (k1,k2). Cette somme je la nomme "Somme3,4".

Je réitère ce raisonnement, pour un choix de k1 donné j'ai 10-k1+1 choix possibles pour k2. Si je somme le terme Somme3,4 en faisant varier k2 de 0 à 10-k1
j'obtiens le nombre de dispositions possibles pour les étages 2,3 et 4 pour un choix de k1 donné. Cette somme je la nomme "Somme2,3,4".

Et enfin pour avoir le nombre de dispositions totales possibles je somme le terme Somme2,3,4 en faisant varier k1 de 0 à 10.

Désolée pour l'écriture mais je sais écrire en latex mais j ai pas compris comment le faire executer dans ce forum.

par **nuage** » 30 Juil 2007, 00:07

Salut mariounette,
si j'ai bien compris ce que tu dis semble exact.
Il reste néanmoins à faire le calcul...
Essaye déjà avec 5 personnes et 3 étages. Je trouve

soit 21 possibilités.
Étant entendu que les gens descendent au 1°, au 2° ou au 3° étage.

Et toi ?

par **marcmeimoun** » 31 Juil 2007, 13:02

En vérité le problème ressemble au cas d'un tirage avec remise de numéro allant de 1 à 5 avec nombre de tirage = 10.
la réponse de flight est juste : 5^10

par **Flodelarab** » 31 Juil 2007, 13:48

marcmeimoun a écrit:En vérité le problème ressemble au cas d'un tirage avec remise de numéro allant de 1 à 5 avec nombre de tirage = 10.
la réponse de flight est juste : 5^10

J'aime la façon dont tu t'assois sur l'objection de Nuage.

J'aimerais aussi que tu m'expliques où tu vois une "remise" ???

par **marcmeimoun** » 27 Aoû 2007, 17:41

Je ne souhaitais absolument pas passer outre une objection !

je tenais simplement à fournir une manière de voir le problème pour envisager sa résolution.

Je la précise ici :

imaginez qu'avant de rentré dans l'ascenceur chaque personne tire dans une urne le numéro de l'étage auquel il doit s'arreter. on a donc 10 tirages avec remise de numéro allant de 1 à 5. Problème élémentaire qui reçoit la solution de 5^10

par **Flodelarab** » 27 Aoû 2007, 18:27

J'adore les gens qui parlent tout seul.

marcmeimoun a écrit:Problème élémentaire qui reçoit la solution de 5^10

Problème élémentaire qui n'a rien à voir avec celui posté en premier.

Puisqu'à ce te semble plus important de donner une bonne réponse que de faire un bon raisonnement, je te rappelle que Nuage avait donné cette bonne réponse en premier dans sa première hypothèse. Mais tu ne dois pas exclure par a priori sa 2eme hyptohèse.

Analyse combinatoire, problème d'ascenceur

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