Un problème d'analyse numérique

[mathelot]

bonjour,

Soit x un réel .

Il est bien connu que la suite




converge vers .

Soit k un entier non nul. Soit la suite définie par:



et pour , la récurrence :







Je voudrai majorer la différence en fonction des entiers k et n ?

Cordialement.

PS: il s'agit d'un problème d'analyse numérique. Comment ça se passe quand on tronque tous les calculs à la k ième décimale (k fixé grand) ?

j'attend vos idées avec impatience (différentielles, calculs d'incertitude,
statistiques sur les arrondis..)

[alben]

Bonsoir,

Juste une remarque, ton calcul de racine est basé sur la méthode de Newton qui a la propriété d'être auto-correctrice : si une valeur de la suite est fausse, ce n'a pas d'autre conséquence que d'arriver à la précision voulue après un peu plus d'itérations.
Autrement dit, ta suite va devenir rapidement constante ou oscillante entre deux valeurs.
En outre, sa convergence est très rapide dès lors que l'on commence à être proche du résultat. (l'erreur est mise au carré à chaque itération). Les écarts d'arrondis n'auront aucun impact sur les premiers termes et finalement tes suites (u) et (v) arriveront en même temps à la précision en 10^(-k). Simplement la première aura sans doute des décimales correctes au delà de k

[mathelot]

Bonsoir Alben,
tout d'abord merçi pour ta réponse.

Concernant la suite de Héron,


tant que reste supérieur à x, la suite est décroissante.
En théorie, cad sans gérer les problèmes d'arrondi, la suite
décroit vers sa limite qui est la borne inf.
Il se peut que l'arrondi ou la troncature fasse passer
sous sa limite, et la suite devient alors périodique (en colimaçon).
Je pense que dans tous les cas, avec arrondi, la suite devient périodique.
Le problème est le suivant:
comment obtenir un majorant de l'erreur ?

je crois avoir une idée: au lieu de considérer l'équation du point fixe
f(x)=x, je vais considérer l'équation de l' "intervalle fixe"
où g est la composition par

suivi d'un arrondi à la kième décimale.
dès que g(J) n'est plus inclu dans J, la suite devient périodique et
la précision n'augmente plus.

[alben]

Bonne journée

Pas bien compris ton histoire d'intervalle.
Il me semble qu'on peut faire très simple : soit x le carré dont on cherche la racine r , les itérés, l'erreur d'arrondi (ou de troncature ?) lors de la division de x et celle de la division par 2

En remplaçant x par r² et en posant , on arrive à

Les deux premiers termes dépendent de l'erreur dans les divisions : arrondi, troncature, existe-il des chiffres de garde pour les calculs ? On peut majorer b+a/2 par
Le dernier terme est lié à la méthode, comme r>1, dès que e_n est de l'ordre de , il devient négligeable.
Conclusion : cette méthode sature en précision les possibilités de la machine, l'erreur est du même ordre que celle réalisée dans une division. Si la division est faite avec des chiffres de gardes, la suite oscillera entre deux valeurs lorsque la k+1 ième décimales sera voisine de 5.
NB il n'est pas possible qu'elle ait une période autre que 1 ou 2 sauf dans l'hypothèse où le dernier chiffre d'une division n'est pas fiable