Analyse numerique

[muse]

Bonsoir,

voila j'ai un problème qui revient souvent et j'y arrive vraiment pas:




Je pense qu'il faut montrer que la formule de quadrature est d'ordre 2s donc que



Mais si c'est ça je ne vois pas comment faire

[leon1789]

Je pense qu'il faut montrer que la formule de quadrature est d'ordre 2s

visiblement, elle est plutôt d'ordre 2s-1 , comme c'est sous-entendu dans l'énoncé.

[muse]

Ouais j'ai été trop vite donc il faut montrer que:



N'empêche que je ne sais toujours pas comment faire

[leon1789]

à mon avis, il y a davantage que ça à démontrer.

[muse]

Mais tu pouvais me dire quoi pcq c'est pas que je veux la réponse mais c'est que j'ai suffisamment chercher pour savoir que je ne trouverai pas .

[leon1789]

Tu connais les polynômes orthogonaux pour le produit scalaire où ?

[muse]

Heu on l'a vue une fois vite fait e'n TD
en rapport avec le polynôme de Chebychev ?

?

Ha oui tu veux dire que les xi sont en fait les racines tu polynôme de Chebychev ?
mais je ne vois pas on ça nous mener

EDIT:
donc en fait notre integrale est egale a:
avec

[leon1789]

bon, si on ne passe pas par les polynômes orthogonaux (oui, ici, ce sont ceux de Chebychev), tu dois démontrer à la main, i.e. par de l'intégration est changement de variable, que tous les monômes sont intégrés parfaitement lorsque

[muse]

je ne suis pas sur de comprendre.

Il faut que je montre a la main que
existe pour k allant de 0 a 2s-1 ?

[leon1789]

je ne suis pas sur de comprendre.

Il faut que je montre a la main que
existe pour k allant de 0 a 2s-1 ?

oui, que cette intégrale existe,
mais surtout qu'elle vaut exactement la somme !

[muse]

je vois bien un changement de variable t=sinx

ce qui revient a l'intégrale:



je peux faire ça avec les séries de fourrier non ?

[leon1789]

je peux faire ça avec les séries de fourrier non ?

heu, pas la peine ! la parité de sin^k suffit pour conclure la valeur de l'intégrale

[muse]

ok donc l'integrale vaut 0 quelque soit k impair donc si k=2s-1 par exemple

Mais je vois pas ce qu'on peut conclure

[leon1789]

Je pense qu'il faut faire le point : quel est le problème ?

[muse]

Le problème est de montrer que


si f est un polynôme de degrés inférieur ou egal a 2s-1

On en été arrivé a dire qu'il faut que

pour k allant de 0 a 2s-1

or



Il faut donc montrer que


Et la je ne sais plus quoi faire je sais juste que si k impair

[busard_des_roseaux]

Bjr,
juste une remarque en passant,

1ère méthode, ce qui a été évoqué: on étudie les polynômes de Tchebychef et on exprime f dans cette base orthogonale. Comme les polynômes de Tchebycheff sont un sujet d'étude réellement fascinant, ça vaut le coup de faire un détour par ces polynômes.

2ème méthode, transformer les intégrales
de en intégrales de Wallis par un changement de variables et on calcule ces intégrales par récurrence.

[muse]

moi je veux bien passer par les polynôme de Chebychev mais je ne sais pas quand même pas comment on fait ...

Faudrait que je le sache pour demain qd même.
Vous pouvez me donner la solution en passant par les polynôme de Chebychev ?

SVP :we:

[busard_des_roseaux]

ok, y a du taf.

Les polynômes de Tchebycheff sont des polynômes de degré n
vérifiant:


c'est aussi simple que cela, ça vient des formules d'Euler.

On a donc:
- une formule trigo explicite pour leurs racines
- une relation de récurrence
- ils constitutent une famille orthogonale pour le produit scalaire

et une base de l'e.v des polynomes de degré au plus 2s-1,
e.v de dimension 2s.


ta formule à démontrer


n'est rien d'autre que l'égalité de deux formes linéaires
définie sur l'e.v

On la vérifie donc sur une base de l'e.v, celle de Tchebycheff.

Pour un polynôme , il vient à gauche:


si et sinon.

voilà pour le membre de gauche de l'égalité.

Pour celui de droite,


cette dernière somme
en remarquant que c'est la partie réelle d'une progression géométrique,
formée avec des exponentielles.

je te laisse terminer la vérification.

[muse]

Hum je croit que j'ai rien compris.

Tu es entrain de me dire que mon integrale est = 0 pour un polynome de degres supieur ou egale a 1 ? puisque

[busard_des_roseaux]

re,

les polynômes de Tchebycheff ont ceçi de prodigieux:

si F est une partie finie de
une somme trigonométrique du style:



est égale à:



comme les sinus peuvent être vûs comme des cosinus de l'arc complémentaire,la plupart des calculs et identités trigonométriques
avec des arcs commensurables à
du style ,

peuvent être transformées en des additions et multiplications de
polynomes évalué en



exemple :zen: :




vaut le polynôme:



évalué en

ça c'est cool. transformer des calculs de trigo en calculs
dans l'algèbre de polynomes, engendrées par ceux de Tcheby.