Analyse numerique

[muse]

Bonsoir tout le monde,

Voila l'énonce


La premier question est de montrer que est reel.

Je ne vois pas de tout quoi dire.
je ne vois rien a par que le module de q restera toujours egal a 1...

merci

[SimonB]

Qu'est-ce que ?

Je suppose qu'on divise par cette norme pour pouvoir se ramener à la sphère unité, qui a le bon goût d'être compact.

[muse]

Qu'est-ce que ?

Je suppose qu'on divise par cette norme pour pouvoir se ramener à la sphère unité, qui a le bon goût d'être compact.

J'ai refait l'image désolé j'avais mal coupé.

[Maxmau]

Bonjour
Le polynôme caractéristique de A est à coefficients réels
Donc : si ;) est une vp (valeur propre) non réelle de A, le conjugué de ;) est une autre vp de même module que ;).

[muse]

Merci beaucoup, j'aurais qd meme du y penser

La deuxieme question est de montrer que est stable par A.

Voila ce que j'ai fait:
on a:


donc
Donc est stable par A

C'est correct ?

[muse]

je fait un petit up

[Maxmau]

Ok

D’une manière plus générale ( c’est tout aussi simple à montrer et intéressant à retenir) ) :
Si P et Q sont 2 polynômes de R[X] et A une matrice réelle nxn, les matrices P(A) et Q(A) commutent et Ker(P(A)) est stable par Q(A)

[muse]

Merci beaucoup

Il faut aussi montrer que est stable par A.

Voila ce que j'ai fait:
donc tel que:


donc
Donc est stable par A


Il faut ensuite montrer que et sont en somme direct. Par contre la je ne vois pas trop

[Maxmau]

Ok
Je complète ma remarque précédente
D’une manière plus générale ( c’est tout aussi simple à montrer et intéressant à retenir) :
Si P et Q sont 2 polynômes de R[X] et A une matrice réelle nxn,
les matrices P(A) et Q(A) commutent et Ker(P(A)) est stable par Q(A)
De plus : Im(P(A)) est stable par Q(A)

[muse]

Merci beaucoup

Tu as une idée pour montrer que et sont en somme directe ?

Merci

[Maxmau]

Si M est une matrice réelle nxn tq Ker(M²) = Ker(M) alors
la somme KerM + Im(M) est directe.
Si zéro est vp simple de M quelle conséquence peut-on en tirer pour M², kerM et kerM² ?

[muse]

Ok merci donc:

Si 0 est vp de M alors:
tel que


Donc si je reviens a l'exercice:
On sait que est vp de A on a donc
tel que


Or on vient de voir que si 0 est vp d'une matrice A alors A² a aussi 0 pour vp. Ce qui signifie qu'on a:
tel que



Donc
Et donc conclure que et sont en somme directe.

C'est bon ?


EDIT:
Si j'ai bien bon on alors dire que si 0 est vp de M alors 0 est aussi vp de et aussi que

[Maxmau]

Attention : des choses à revoir car ton raisonnement est faux
On a toujours Ker(M) contenu Ker(M²) mais ça peut être strictement.
Il faut montrer que si zéro est vp simple de M, zéro est aussi vp simple de M²
Dans ce cas Ker(M) et Ker(M²) sont 2 droites vectorielles l’une incluse dans l’autre d’où l’égalité : Ker(M) = Ker(M²)
Ensuite on applique à M = A – 1.I

[muse]

Il faut bien que je parte du fait que il existe X tel que MX=0 ? Je ne vios pas comment utiliser le fait que 0 soit simple aussi

[muse]

petit up,
J'ai pas mal réfléchi et je ne vois pas comment montrer cela.

[Maxmau]

En trigonalisant M (c’est toujours possible dans le domaine complexe) et en prenant comme premier vecteur de base E1 non nul dans Ker(M). La matrice M est semblable à une matrice triangulaire T dont la diagonale commence par zéro avec ensuite des vp non nulles (puisque zéro est vp simple). M² est alors semblable à T².
Je te laisse conclure.

[muse]

Hum alors la je suis un peu perdu je ne suis jamais servie des matrices semblables...
Pourrais tu finir la demo j'y reflechirai apres.

Merci

[Maxmau]

Hum alors la je suis un peu perdu je ne suis jamais servie des matrices semblables...
Pourrais tu finir la demo j'y reflechirai apres.

Merci

T² possède un seul zéro sur la diagonale dont zéro est vp simple de T² et donc aussi de M²

[muse]

Ok donc on dit que
0 est vp simple de M donc de M² aussi. Mais je ne vois pas en quoi ça dit que ker(M)=Ker(M²)

[Maxmau]

Vois message 13