Analyse numerique

[busard_des_roseaux]

Hum je croit que j'ai rien compris.

Tu es entrain de me dire que mon integrale est = 0 pour un polynome de degres supieur ou egale a 1 ? puisque

oui, c'est bizarre:

soit y a une erreur de calcul ?

soit les forment une famille dénombrable du
noyau de cette forme. Par contre, le "poids" de la mesure
est concentrée aux bornes -1 et 1
puisque la mesure a pour densité

infinie aux bornes.

[busard_des_roseaux]

Attens Muse,
j'espère que tu n'es pas parti(e).
On s'intéresse au produit scalaire



ie, à une forme BI-linéaire.

or, içi, on a vu des vecteurs du noyau d'une forme linéaire.
ça n'a rien à voir. Parce que , lorsque l'on "cogne"
un polynôme contre un autre, via le crochet de dualité ,



il y a toujours des termes constants qui assurent que ce produit scalaire
n'est pas nul.

Autre raison:
Il ya le théorème de Weiertrass qui assure que l'e.v des polynomes
est dense dans l'e.v des fonctions continues définies sur [-1;1].
Mais içi, la mesure a une densité infinie aux bornes.

[muse]

Je suis toujours la et j'ai vraiment du mal a comprendre ....

je ne sais plus ou on en est la y'a plus de 2s-1 qui interviennent je suis perdu.

Pour montrer que

pour tout polynome de degres = \int_{-1}^1\frac{f(x)}{\sqrt{1-t^2}}dt[/TEX]
Pour le produit scalaire définit précédemment.


il faut montrer que cette formule d'ordre 2s-1
Or on a définit ceci:
Une formule de quadrature est d'ordre de si

avec

Je peux aussi dire qu'il faut montrer que :

[busard_des_roseaux]

re,

je plussoie. Sachant
on a bien:


si n >0 et si n=0

Pour l'autre membre, si k>0 :










quelques remarques sur


1) il s'agit bien de deux formes linéaires, définies sur l'e.v des fonctions
continues sur [-1,1]
2) cette égalité s'annule, à gauche de l'égalité, pour f, polynôme de Tchebycheff de degré n quelconque >0.

Cette égalité est surprenante:
la forme linéaire , à gauche, admet tous les polynômes de Tcheby dans son noyau.
La forme linéaire de droite est décrite de la manière suivante:
soit la masse de Dirac en


La forme linéaire de droite est une moyenne pondérée de masse de Dirac
aux points , pour zéros du polynôme moyenne étendue à s éléments.
Elle, a-priori, elle a polynômes de Tcheby dans son noyau.

Tu devrais pouvoir interpréter ta quadrature comme une convergence
d'opérateurs relativement à la topologie duale faible-* ????
malheureusement, je connais pas. L'idée, c'est que l'on moyenne
de plus en plus de masses de Dirac. Et le support de cette moyenne de mesures de Dirac devient dense sur [-1;1].
En gros, ce sont les mesures qui "convergent", en moyenne de Césaro, testées sur des fonctions intégrandes, qui, elles, sont "fixes".

Ce qu'il faudrait voir, c'est comment se comporte cette suite de noyaux,
pour les formes linéaires du membre de droite, quand s tend vers l'infini.

Obtient une suite exacte ? Est-ce une "limite projective" ?

[muse]

Ok je te merci bcp de m'avoir consacré tout ce temps :)
Je vais qd même bien tout relire pour bien voir les choses. Surtout que tu as dit pleins de trucs.

[busard_des_roseaux]

Je peux aussi dire qu'il faut montrer que :

ça c'est juste une somme de droite.
il suffit de prendre à gauche
comme intégrande.

[busard_des_roseaux]

Ok je te merci bcp de m'avoir consacré tout ce temps
Je vais qd même bien tout relire pour bien voir les choses.

merçi beaucoup pour ton sujet si intéressant.

vlà quelques questions:

1) le produit scalaire fait de l'e.v des fonctions continues sur [-1,1]
un espace vectoriel normé. Quell est l'adhérence des polynomes
pour cette norme ? quel rôle jouent les bords x=-1 et x=1 ?
2) De quelle façons la famille des polynômes de Tcheby permet de discriminer
deux fonctions continues distinctes ?
3) comment se comporte la suite des noyaux des moyennes
des mesures de Dirac ? il semble que le fait qu'il y a ait de plus en plus de
polynômes dans le noyau signifie que la mesure devient de plus en plus
règulière.
4) est-ce que ça un lien avec la mesure de Haar du cercle unité ?
5) est-ce que les polynômes de Tcheby peuvent être interprétés comme des polynomes d'interpolation de Lagrange ?
6)
Quid du lien "formules trigo/calculs dans le Z-module engendré par les polynômes de Tcheby "

[busard_des_roseaux]

euh,
y a un autre aspect:



est une somme de Riemann de la forme


pour la subdivision
i variant de 0 à s, de l'intégrale avec



ça "explique" pourquoi on ne considère qu'un zéro sur 2, mais pourquoi une
somme de Riemann d'une fonction d'intégrale nulle ? :dodo:

[egoroff]

Hello,

Je crains qu'il n'y ait rien de mystérieux avec ce produit scalaire. Si est une fonction continue et une suite de polynômes convergeant uniformément vers alors on a bien et donc les polynômes sont denses dans les fonctions continues pour ce produit scalaires ; plus généralement pour toute mesure finie la convergence uniforme est plus forte que la convergence . En revanche ce qui change c'est le complété de l'espace des fonctions polynômes, c'est-à-dire l'espace . Il est strictement inclus dans le classique et pourtant il lui est isomorphe. Sauf erreur les polynômes de Tchébycheff forment une base hilbertienne de cet espace.

En ce qui concerne la convergence des mesures, on parle de "convergence étroite" lorsque pour toute fonction continue bornée . C'est effectivement un cas particulier de convergence faible-. En probas on se restreint à des mesures de masse totale 1 et on parle de convergence en loi.

Pour finir il me semble que l'égalité que vous voulez vérifier pour étabir que c'est une formule de quadrature est un peu curieuses ; on doit avoir lorsque la formule de quadrature est censée approcher . Ici on veut approcher donc notre formule de quadrature devrait vérifier pour $q \leq 2s-1$. En particulier on dot trouver 0 si est impair et un truc sûrement plus grand que , et même que , si est pair.

Voilà, bonne journée !