Probabilités

[Lucille83]

Bonjour,
je suis en pleine revisions pour les rattrapages de septembre, et je viens de m'attaquer aux probabilités.
J'ai deux feuilles de TD, et comme je n'ai pas bien suivi cette année, j'ai pris les corrections de deux autres élèves. Il se trouve que ce qui est écrit est du charabia. Je ne vois pas quel est le rapport avec le td, lorsque je trouve un rapport, la solution n'est pas complète, je ne sais jamais ce qu'il faut conclure ...
Bref, si quelqu'un peut m'aider à résoudre l'exercice suivant ...

"Au jeu de la roulette française, les roulettes comportent 37 numéros : 36 numéros gagnants, de 1 à 36, plus un numéro 0 qui ne peut etre joué, et donc qui ne rapporte rien quand il sort. Si on mise sur un numero de 1 à 36, on obtient en cas de gain 36 fois sa mise. Si on mise une valeur m sur pair, on obtient deux fois sa mise en cas de sortie d'un numero pair compris entre 1 et 36, soit un gain effectif de m.

Un joueur joue pair 36 fois avec la même mise m. Quelle est dans ce cas son espérance de gain? Comparez cette espérance avec celle obtenue si on joue une seule fois la mise 36m, et avec l'espérance de gain observée en jouant m sur un numero de 1 à 36."

Merci d'avance

[Acnors]

Hello,
Sauf erreur de ma part:

1.
Soit X la variable aléatoire du gain correspondant au jeu "pair - mise m".
Tu as un gain de 0 avec une proba de (1-p ), et un gain de m avec une proba de p.
L'espérance de X, E1 = E[X ] est donc p m.
Dans le premier jeu, un joueur joue pair 36 fois avec la même mise m. L'espérance est donc E2 = E[somme(Xi) ] avec Xi 36 variables aléatoires iid. Donc E2 = 36* E1 tout simplement.
Pour finir, il nous faut juste la valeur de p . Il y a 18 nbr pairs entre 1 et 36, et 37 cases possibles (ne pas oublier le 0...) donc p =18/37.
Finalement, E2 = 36*m*18/37.

2. Si on joue une seule fois la mise de 36m sur pair, on gagne 0 avec une proba (1-p ), et 36m avec une proba p. On a donc E3 = E2.

3. On gagne si le numéro sort, on a donc une proba de 1/37 de gagner.
L'espérance est donc: E4 = 1/37 * 36 * m

Voili !!
:we:

[Isomorphisme]

Bonjour,

Le raisonnement global de Acnors est bon, mais il y a certaines choses qui m'échappent dans sa contribution. Il définit comme le gain net si j'ai bien compris.
Si on note le nombre de gains après 36 mises, effectivement le nombre moyen de gains est de :
. Les initiés auront remarqué que est de loi binomiale avec la valeur que Acnors a donnée.

Par conséquent le gain net moyen est donc :

L'espérance du gain net est donc négatif, ce qui coroborre l'intuition (puisque la proba d'avoir un nombre pair est inférieure à celle d'avoir un nombre impair).

Pour le cas 2, effectivement, il s'agit d'un schéma bernoullien et on retrouve le même résultat qu'au 1).

Et pour le cas 3, il s'agit là encore d'un schéma bernoullien et le gain net est :
.

Conclusion, la 3ème stratégie est celle qui fait perdre le moins d'argent en moyenne (mais on perd toujours de l'argent en moyenne).

[Lucille83]

Merci pour votre aide!
Je vous marque la deuxième partie de la question si vous avez le courage de vous y pencher!

" Nétant pas satisfait du résultat, notre joueur décide de modifier son jeu. Il joue impair après chaque tirage pair, et réciproquement. Que pensez vous de cette attitude? Pouvez vous lui proposer une autre stratégie?"