Probabilités

[jeremy58]

Bonjour,

J'ai des exos sur les probabilités et je ne comprends rien du tout, c'est des exos avec deux variables, et on en a jamais fait!
Pouvez-vous m'aider? Merci

Exercice 1

Soit X et Y un couple de variables aléatoires indépendantes dont chacune suit une loi normale réduite N (0,1). On pose U=2X et V=X-Y. Déterminer la densité conjointe du couple (U ; V) ainsi que les densités marginales de U et V.

Exercice 2

Soit X et Y 2 variable aléatoires normales indépendantes de moyenne respective m1 et m2 et d’écart respectif 1 et 2. Quelle est la loi de Z = X +Y

Exercice 3

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur [0 ;a] où a est >0.

1) Donner la densité du vecteur V = (X,Y).

2) Soit T = X/Y, montrer que la loi de W = (T ; Y) est donnée par la densité y/a² sur le domaine D = {1>t;)0 et y dans [0 ; a] ; t>1 et y dans [0 ; a/t]} et 0 ailleurs.
Pour calculer le domaine D, intersecter la droite x=ty avec le carré [0 ; a]*[0 ; a] du plan (x , y).

3) En déduire la loi de T

4) Calculer la fonction de répartition et l’espérance de T

[fahr451]

bonjour

on détermine la fonction de répartition du couple (U,V) la densité du couple s'obtient par dérivation seconde par rapport à u et v;

[simplet]

bonjour,
en quelle année es-tu??
Parce que si tu connais les fonctions caractéristiques (ou les transformées de laplaces) ca va tout seul. Sinon,

Pour les va type U=aX+b (ou un autre changement de variable où tu peux isoler la va de départ) (comme dans l'exo 1) tu peux directement chercher la fonction de répartion en te ramenant à celle de X.

Sinon pour les loi de couple en général (dont tu déduis les loi marginales en intégrant, voir ton cours) il faut generalement passer par la formule de l'esperance d'une fonction.

[jeremy58]

Bonjour, et merçi de m'avoir aider. Cependant je bloque toujours autant.
Pour l'exercie 1, j'ai bien trouver la densité g(u,v) avec
g(u,v)= (1/4Pi)*(exp((-1/2)(u²/2 + v² -uv))

Mais pour déterminer les densités marginales j'ai du mal à intégrer

Pour l'exercice 2, en effet je connait les fonctions caractéristiques mais la encore j'ai du mal à intégrer

Fc(x) = intégrale de - infini à + l'infini de
exp(itx)*f(x)dx
mais je me retrouve avec des carré dans l'exponentielle et je ne sais pas intégrer.

En gros j'ai un peu le même problème dans les deux exos

Donc j'ai toujours besoin d'aide.

Merçi d'avance

[fahr451]

bonjour
1)
(en supposant que ta densité g est correcte)
pour intégrer il faut se ramener à l 'intégrale de la gaussienne par mise sous forme canonique du trinôme
par exemple densité de U on intègre /v

on transforme v^2 - uv +u^2/2 = (v-u/2)^2 +u^2/4
exp (-u^2/8) est une cst qui sort de l intégrale

il reste à poser t = (v-u/2) et on à intégrer sur R

exp(-t^2/2) dont l 'intégrale vaut racine (2Pi)

[jeremy58]

Bonjour, et merci car je suis venu à bout de l'exercice 1 !!

Cependant, je n'arrive pas l'exercice 2.

J'ai posé le chgmt de variable
u=x+y
v=y

J'ai calculer le Jacobien, effectuer le produit de convolution mais je n'y arrive plus.

Quelqu'un pourrait m'aider en utilisant la fonction caractéristique ?

En fait, avec cette méthode, se serait plus simple si les lois étaient N(0,1) mais la ce n'est pas le cas et j'ai du mal à intégrer.

Merci

[fahr451]

bonjour
ex3
il n ' y a aucun changement de variables à f aire

on détermine la fct de répartition du couple (T,Y)

F(t,y0) = P(T=T positive, et Y ds [0,a] donc si t ou y0 négatif = 0
si y0>a F(t,y) = P(T=
pour t,y0>0 on a F(t,y)0 = intégrale sur B(t,y0) de f
où f est la densité de (X,Y)
et B(t,y0) est le domaine { (x,y) avec x/y=la densité f est = 1/a^2 sur D = [0,a]^2 0 sinon

finalement
F(t,y0) = (1/a^2) Aire( B(t,y0)inter [o,a]^2 )

il te faut tracer ce domaine suivant y0 >a ou non

[fahr451]

pour l 'exo deux
a et b les écarts types respectifs
X= m1+ aX* ;Y= m2 +bY*

donc Z = m1+m2 +a (X*+(b/a)Y* )

avec X* de loi N(0,1) et (b/a) Y* de loi N(0,b/a)

applique la formule de convolution à X* +(b/a)Y*

il y aura encore un trinôme à mettre sous forme canonique

et tu dois trouver une densité N(0 , racine( 1+(b/a)^2 )