Probabilités

[Dacu]

Bonjour tout le monde,

Dans une boîte, il y a balles blanches et balles rouges. Après chaque extraction, la balle est retournée dans la boîte.
1) Quelle est la probabilité que boules blanches apparaissent consécutivement après extractions?
2) Quelle est la probabilité que boules blanches et boule rouge ressortent consécutivement après extractions?
3) Combien d'extractions faut-il effectuer pour que la probabilité du point 2) ci-dessus , soit supérieure à ?

Cordialement,

Dacu

[Sake]

Bonjour Dacu,

Avant de te lancer dans la question 1, quelles sont les informations qui te sont données dans l'énoncé? Quels indices cela t'apporte sur la modélisation probabiliste de ton problème?

[beagle]

C'est un exo canadien?

[LB2]

Tirage avec remise : loi binomiale. Encore faut-il introduire les bonnes variables aléatoires dans un univers bien choisi ...

[Dacu]

Bonjour Dacu,

Avant de te lancer dans la question 1, quelles sont les informations qui te sont données dans l'énoncé? Quels indices cela t'apporte sur la modélisation probabiliste de ton problème?

Bon matin,

Le point 1) D'après les données du problème, il s'ensuit que et pour qu'une boule blanche ou rouge sorte après le premier extraction.Comment pouvons-nous continuer à résoudre au point 1)?Merci beaucoup!

Cordialement,

Dacu

[pascal16]

1) la loi binomiale te donnerait sans problème "obtenir 3 boules blanches", mais le consécutif change la donne

tu as en fait 3 solutions :
BBBXX
XBBBX
XXBBB
X : n'importe quelle boule
B : une boule blanche.
on peut remarquer que c'est trois fois la m^me proba...

[Dacu]

1) la loi binomiale te donnerait sans problème "obtenir 3 boules blanches", mais le consécutif change la donne

tu as en fait 3 solutions :
BBBXX
XBBBX
XXBBB
X : n'importe quelle boule
B : une boule blanche.
on peut remarquer que c'est trois fois la m^me proba...

Bon matin,

Et j'ai pensée à ce schéma de probabilité.S'il vous plaît , donnez des détails.Merci beaucoup!
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Il est juste de dire qu'après les trois premières extractions la probabilité est où ?

Cordialement,

Dacu

[Naderr]

Bonjour Dacu,

En fait pour le 1) les boules X ne sont pas forcément rouges

[Naderr]

Donc la proba recherchée c'est juste

[beagle]

hum c'est troublant,
reprenons l'arbre et simplifions on veut 3 B en 4 tirages
J'ai 5 / 8 B premiere balle blanche, et ensuite 5 / 8 x 5 / 8 donc , ok ( 5 / 8)^3

et j'ai 3/8 premiere balle rouge, alors (3/ 8)^3 pour BBB

et donc cela ne fait pas deux fois la proba 3 B

en fait dans le
XBBBY
quand j'ai mon BBB alors le Y importe peu, B ou R ,donc j'ai la proba 1 derrière
mais devant si je dis je fais mon BBB à partir du deuxième tirage, c'est que j'exclu le B possible dans X puisque le cas X= B est compris dans BBBYY , dans BBB à partir premier tirage.

dansXYBBB
je ne peux pas avoir XY qui est BB, ni RB
XY est RR ou BR, non?

[tournesol]

Pour la question 1 , il y a à priori 6 possibilités :
BBBXX , XBBBX , XXBBB , BBBBX , XBBBB , et BBBBB .
soit une proba de 3p^3q^2+2p^4q+p^5 , avec p=5/8 et q =3/8 , ce qui donne 17375/32768 .

[Black Jack]

Salut,

Toujours la même ambiguïté dans les formulations de problèmes de proba.

Le problème est différent si :

a) On veut un tirage de exactement 3 boules blanches consécutives pour un tirage de 5 boules.

Ou bien si :

b) On veut un tirage de au moins 3 boules blanches consécutives pour un tirage de 5 boules.

La phrase de l'énoncé "3 boules blanches apparaissent consécutivement après 5 extractions" convient aussi bien à ce qui est décrit ci-dessus en a et en b.

... MAIS la réponse est différente suivant que l'on considère l'interprétation a ou l'interprétation b.

[tournesol]

Il faudrait en fait préciser:
Pour la question 1 : la sequence BBB doit elle apparaitre exactement une fois , ou au moins une fois ?
Pour la question 2 : la séquence BBR doit elle apparaitre exactement une fois , ou au moins une fois ?

[tournesol]

Nos messages se sont croisés Black Jack , désolé .

[beagle]

Il faudrait en fait préciser:
Pour la question 1 : la sequence BBB doit elle apparaitre exactement une fois , ou au moins une fois ?
Pour la question 2 : la séquence BBR doit elle apparaitre exactement une fois , ou au moins une fois ?

ce truc là est souvent mal précisé.
Pour autant, je reste à penser que si on veut du 3 B exacrement une fois, et bien il n' y a qu'à le dire!!!
Et donc que lorsque l'on ne dit rien, c'est que l'on accepte que dans BBBB il y a eu 3 B consécutifs.

[tournesol]

Donc au moins une fois la sequence BBR sur 10 tirages . Je note A(10) cet évenement et p(10) sa probabilité .
Soit n le nombre de tirages.
Pour realiser A(n+1) , soit on réalise A(n) , soit on ne realise pas A(n-2) mais la sequnce se termine parBBR .
D'où la récurrence: p(n+1)=p(n)+(1-p(n-2))u^2v avec u=5/8 et v=3/8 .
Je note a=u^2v pour faciliter les calculs.
On a p(2)=0 , p(3)=a , et p(4)=2a=0,2929...
On en deduit p(5)=3 a= 0,439... , p(6)=a(4-a)=0,56... et on a déja répondu à la troisième question .
on continue le calcul litteral et on arrive à p(10)=4a^3-15a^2+8a=0,86258...
REMARQUE: La récurrence est résoluble facilement car l'équation carractéristique r^4-r^3+ar-a=0 se factorise facilement mais les calculs auraient eté plus longs .

[beagle]

Pour la question 1 , il y a à priori 6 possibilités :
BBBXX , XBBBX , XXBBB , BBBBX , XBBBB , et BBBBB .
soit une proba de 3p^3q^2+2p^4q+p^5 , avec p=5/8 et q =3/8 , ce qui donne 17375/32768 .

salut professeur,
tu peux recalculer, reconfirmer
je ne trouve pas que ton propre calcul arrive à 17 375
et je ne trouve pas que le nombre de cas est celui-ci non plus.

Tu peux confirmer?

[tournesol]

On est d'accord beagle . Les possibilités sont :
BBBRR , BBBRB , RBBBR , RRBBB , BRBBB ,BBBBR , RBBBB , BBBBB .
Je trouve p^3(3q^2+4pq+p^2) , soit 875/2048 .
Désolé .

[beagle]

On est d'accord beagle . Les possibilités sont :
BBBRR , BBBRB , RBBBR , RRBBB , BRBBB ,BBBBR , RBBBB , BBBBB .
Je trouve p^3(3q^2+4pq+p^2) , soit 875/2048 .
Désolé .

ça marche pour moi, comme je l'avais fait par deux méthodes, l'arbre et combinatoire, qui donnaient idem,
je ne voyais pas où je pouvais commettre deux fois le même type d'erreur
l'arbre donnait:
(1+ 3/ 8 + 3/8)* (5/8)^3 donc 1750/4096

et ensuite en combinatoire, je sais plus trop,... sur mon brouillon c'était
les 5B : 9,5% , je prends tout
les 4B1R : 28,6% , je prends les 4/5 = 22,88
les 3B2R : 34,3% , je prends les 3/10=10,29
ce qui faisait 42, 7%

[pascal16]

tu as en fait 3 solutions :
BBBXX
XBBBX
XXBBB
X : n'importe quelle boule
B : une boule blanche....

je comptait plusieurs fois certains tirages en effet

pour exactement 3 :
BBBXY
XBBBX
YXBBB
X : n'importe quelle boule non blanche
Y : n'importe quelle boule

pour au moins 3, rajouter les cas :
XBBBB
BBBBX
BBBBB