Probabilités

[aidemathematique]

bonjour, pourriez vous m aider sur cet exercice

[pascal16]

peut être du tangente / arc tangente / dérivée de arc tangente

[aidemathematique]

oui, on a tan theta= AB/OA, et theta suit la loi uniforme, mais je ne sais pas comment continuer

[aviateur]

Commence par écrire P(X<u)=..... en fonction de ......

Remarque évite de poser la même question sur un autre forum. De toute façon quelqu'un te répondra quelque soit le forum. On est bénévole mais ce n'est pas agréable de prendre son temps à répondre alors que la réponse est déjà donnée ailleurs.

[pascal16]

vu que je n'ai jamais vu le théorème de transfert, je vais pas être forcément sur de mes résultats (je viens d'apprendre le nom y a 5 minutes, cours de Alain.Troesch).

on a bien X=tan(o)
il faut donc vérifier :
- tan(o) est-elle bijective là où ça nous intéresse ?
- la dérivée de tan(o) est elle strictement positive là où ça nous intéresse (forcément fo qu'elle existe) ?

on a alors que la densité g de X est donnée par :
g(y) =(f ◦ ϕ−1(y))(ϕ−1)′(y)

f : la loi uniforme qui va faire apparaître du pi
ϕ= tan(o)
ϕ−1=arctan(y)
(ϕ−1)′= comme pressenti du 1/(1+x²) pour retrouver du Cauchy

[pascal16]

g(y) =(f ◦ ϕ−1(y))(ϕ−1)′(y)=f*(1/ϕ') évalué en (ϕ−1(y)), mais ici, la seconde forme est plus difficile à écrire

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ce que tu bricole Pascal avec tout ton fatras théorique dans un cas pareil où les seule chose à connaitre pour résoudre (simplement) l'exo., ben c'est la définition de "fonction de répartition" et évidement celle de "loi uniforme" :
L'abscisse X de B, c'est X=tan(theta), et la fonction de répartition de X, c'est la fonction F:R->R définie par

(par def. de la loi uniforme sur ]-pi/2,pi/2[)
Et si tu en ressent le besoin, tu peut en déduire la fonction de densité de X qui n'est jamais que la dérivée de la fonction de densité : .

Enfin, en cherchant sur le Net, tu trouve effectivement qu'une v.a.r. ayant une fonction de répartition (ou de densité) de cette forme, ben en fait, ça porte un nom, et que ça s'appelle "Loi de Cauchy".

P.S. Et si je raconte tout ça, c'est parce que le "théorème de transfert" (*), ben j'en ai jamais entendu parler, qu'une "loi de Cauchy", tu m'aurais demandé il y a 1/4 d'heure ce que c'était, je t'aurais dit d'aller chercher sur le net, mais que par contre, le X de l'exo, vu sa définition, sa loi je pouvait te la donner "de tête" (i.e. sans papier ni crayon) tellement c'est évident...
(*) Enfin, si, j'en connais un, mais c'est en analyse non standard...

[Tiruxa47]

Bonjour,
Je pense qu'à la fin c'est F(x)=1/pi (arctan(x) + pi/2), sinon merci de m'expliquer pourquoi.

[pascal16]

Perso, Ben, je n'ai jamais vu aucune théorie de composition de distributions, c'est un exercice à n+1 après la fin de mes études... il y 20 ans.

On partait de tan(x) et la forme 1/(1+x²) de la loi de Cauchy, je savais que c'était la dérivée de arctan(x), donc il existait une formule liant les deux, j'ai cherché cette formule. Le poly dit bien qu'il vaut mieux rechercher par un autre méthode. Perso, je trouve la formule tellement proche de la dérivée d'une fonction réciproque que je l'ai trouvée cool, d’ailleurs c'est exactement la f ◦ la dérivée de la réciproque de la seconde fonction prise au bon endroit.

le poly donnait :
g(y) =(f ◦ ϕ−1(y))(ϕ−1)′(y)
f : 1/pi
ϕ=tan(x)
ϕ−1(y) ; arctang(y)
(ϕ−1)′(y ): 1/(1+y²)
(f ◦ ϕ−1(y)) : 1/pi
g(y)=1/(pi(1+y²))

par les formule de (ϕ−1)′(y) en fonction de 1/ϕ', ça valait aussi :
h(y)=f*(1/ϕ') évalué en (ϕ−1(y))
ϕ=tan(x)
ϕ'=1/cos²(x)
h(y)=1/(pi*cos²(actan(y)))

et j'ai constaté avec plaisir que g(y)=h(y)

perso, je me dit qu'il manque un morceau d'explication ici :

Je pense que rechercher ce qui est à gauche est équivalent à rechercher ce qui est à droite, mais pas égal au sens strict

[Ben314]

Bonjour,
Je pense qu'à la fin c'est F(x)=1/pi (arctan(x) + pi/2), sinon merci de m'expliquer pourquoi.

Effectivement : je rectifie.

[Ben314]

perso, je me dit qu'il manque un morceau d'explication ici :

Je pense que rechercher ce qui est à gauche est équivalent à rechercher ce qui est à droite, mais pas égal au sens strict

Ben pourtant, c'est une "vraie de vraie" égalité au sens le plus "strict" qui soit (*) où la seule explication à donner, ben c'est que la fonction tangente est strictement croissante sur ]-pi/2,pi/2[.

(*) Modulo que j'aimerais bien comprendre ce que ça signifie dans ta tête une égalité qui "ne serait pas vraie au sens strict". Tu as un exemple ?
(idem pour "rechercher ce qui est à gauche est équivalent à rechercher ce qui est à droite" dont je comprend pas franchement ce que ça peut signifier : tu as un exemple ?)

[pascal16]

Une p'tite vidéo avec la démo et qq correction coté signe :
https://www.youtube.com/watch?v=4QBgw8sMMlk

et celle de la façon sans théorème
https://www.youtube.com/watch?v=LANDeXmHbbA